F (x) = - x² -2x +8 ; * * * * * f(x) = 9 - (x+1)² * * * * * =(3² - (x+1)² =(3 -x -1)(3+x+1) = - (x+4)(x -2) * * * * * 1. ООФ : ( - ∞ ; ∞) . 2. Функция не четной и не нечетной * * * * * и не периодической * * * * * . 3 Точки пересечения функции с координатными осями : а) с осью y : x =0⇒ y = 8 ; A(0 ;8) * * * * * -0² -2*0 +8 =8 * * * * * б) с осью x : y =0 ⇒ - x² -2x +8 =0 ⇔ x² +2x -8 =0 ⇒x₁= -1 - 3 = - 4 ; x₂ = -1 +3 =2 . B(-4; 0) и C(2;0). * * * * * D/4 = (2/2)² -(-8) = 9 =3² * * * * * 4. Критические точки функции. * * * * * значения аргумента (x) при которых производная =0 или не существует) * * * * * f ' (x) = ( - x² -2x +8 )' = - (x²)' - (2x )' +(8 )' = -2* x - 2(x )' + 0 = -2x - 2 = -2(x+1); f ' (x) = 0 ⇒ x = -1 (одна критическая точка) . 5. Промежутки монотонности : а) возрастания : f ' (x) > 0 ⇔ -2(x+1) > 0 ⇔ 2(x+1) < 0 ⇔ x < -1 иначе x∈( -∞; -1). б) убывания : f ' (x) < 0 ⇔ -2(x+1) < 0 ⇔ 2(x+1) > 0 иначе x∈ ( 1 ;∞ ). 6. Точки экстремума: * * * * * производная меняет знак * * * * * x = - 1. 7. Максимальное и минимальное значение функции : Единственная точка экстремума x = - 1 является точкой максимума , т.к. производная меняет знак с минуса на плюс . max(y) = - (-1)² -2(-1) +8 = 9. 8. промежутки выгнутости и выпуклости кривой; найти точки перегиба. * * * * * f ' ' (x) =0 * * * * * f ' ' (x) =( f'(x))' =( -2x -2) ' = -2 < 0 ⇒ выпуклая в ООФ здесь R by (-∞; ∞) не имеет точки перегиба (точки при которых f ' ' (x) = 0 ) .
P.S. y = -x² -2x +8 = 9 -(x+1)² . График этой функции парабола вершина в точке M(- 1; 9) , ветви направлены вниз , что указано во второй строке решения . Эту функцию предлагали наверно для "тренировки".
1) Выделяем полные квадраты:
для y: (y²+2*7y + 72) -1*72 = (y+7)²-49
Преобразуем исходное уравнение:
(y+7)² = 6x - 0
Получили уравнение параболы:
(y - y0)² = 2p(x - x0)
(y+7)² = 2*3(x - 0)
Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;-7)
Параметр p = -3.
Координаты фокуса: F(-p/2; yo) = (-1,5; -7).
Уравнение директрисы: x = x0 - p/2
x = 0 - 3/2 = -3/2.
2) Выделяем полные квадраты:
для x: (x²-2*1x + 1) -1 = (x-1)²-1
для y: -4(y²+2*3y + 3²2) +4*3² = -4(y+3)²+36
В итоге получаем:
(x-1)²-4(y+3)² = -68
Разделим все выражение на -68
(-1/68)(x - 1)² + (1/17)(y + 3)² = 1.
Параметры кривой.
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C(1; -3)
и полуосями: a = 2√17, b =√17.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = 68 + 17 = 85
c = √85.
Тогда эксцентриситет будет равен: e = c/a = √85/2√17.
Асимптотами гиперболы будут прямые: y + 3 = (1/2)(x - 1) и
y + 3 = (-1/2)(x - 1).
Директрисами гиперболы будут прямые: +-е/а = +-(√68/√85).