Даны точки A(3;9) B(8;4) C(-1;7).
1) составить уравнение окружности, проходящей через эти точки, определить координаты центра N и величину R радиуса окружности.
Координаты середин сторон треугольника (основания медиан).
х у
А₁ 3,5 5,5
х у
В₁ 1 8
х у
С₁ 5,5 6,5
Составим уравнения серединных перпендикуляров для сторон АВ и ВС, которые, как известно, проходят через основания медиан A1,B1.
и центр описанной окружности O2:
для стороны AB имеем
C1O2: x−xC1yB−yA=y−yC1xA−xB ⇔ x−5.54−9=y−6.53−8 ⇔ x−5.5−5=y−6.5−5 ⇔ x−y+1=0;
для стороны AC имеем
B1O2: x−xB1yC−yA=y−yB1xA−xC ⇔ x−17−9=y−83−(−1) ⇔ x−1−2=y−84 ⇔ 2x+y−10=0.
Теперь находим координаты центра описанной окружности как точки пересечения срединных перпендикуляров.
x−y+1=0
2x+y−10=0 сложение
3х - 9 = 0. Отсюда х = 9/3 = 3. Значение по оси Оу находим постановкой значения х = 3 в уравнение перпендикуляра. у = х + 1 = 3 + 1 = 4.
Координаты центра N(3; 4).
Находим радиус R = √((3 - 3)² + (4 - 9)²) = √(0 + 25) = 5.
Уравнение окружности: (x − 3)² + (y − 4)² = 5².
2) Написать уравнение эллипса, проходящего через точки B и C, найти полуоси, фокусы, эксцентриситет.
Примем центр эллипса в начале координат (иначе нет решения без дополнительных данных).
(х²/а²) + (у²/b²) = 1. Подставим заданные координаты точек В и С.
(64/а²) + (16/b²) = 1.
(1/а²) + (49/b²) = 1. Замена: (1/а²) = u, (1/b²) = v. Система:
64u + 16v = 1 64u + 16v = 1
1u + 49v = 1 Умножим = 64 64u + 3136v = 64 вычтем 2 - 1
3120v = 63
v = 63/3120 = 21/1040 ≈ 0,020192308
Находим параметр b = √(1/v) = 7,037316.
u = 1 - 49v = 0,010577.
Находим параметр a = √(1/u) = 9,72345.
Уравнение эллипса (х²/9,72345²) + (у²/7,037316²) = 1.
Параметр с = √(a² - b²) = 6,709817.
Эксцентриситет е = с/а = 6,709817/9,72345 = 0,690066.
3) точки и кривые в системе координат в приложении.
1) 12⁻³=1/12³=1/1728
2) 3⁻⁴=1/3⁴=1/81
3) (-2)⁻⁶=1/(-2)⁶=1/64
4) (-5)⁻³=-1/5³=-1/125
5) 100⁻¹=1/100=0,01
6) (-1/8)⁻¹=-8
7) (2/3)⁻³=(3/2)³=27/8=3 3/8
8) (-7/9)⁻²=(9/7)²=81/49=1 32/49
9) (1 2/3)⁻¹=(5/3)⁻¹=3/5=0,6
10) (-1 1/4)⁻³=(-5/4)⁻³=(-4/5)³=-64/125
11) (0,01)⁻³=(1/100)⁻³=100³=1 000 000
12) (1,6)⁻²=(1 3/5)⁻²=(8/5)⁻²=(5/8)²=25/64
1) 3⁻³ + 6⁻² = 1/27 + 1/36 = 4/108 + 3/108 = 7/108
2) (2/3)⁻¹ + (-1,7)⁰ - 2⁻³ = 3/2 + 1 - 1/8 = 12/8 + 1 - 1/8 = 11/8 + 8/8 = 19/8 = 2 3/8
3) (3/4)⁻² * 2⁻³ = 16/9 * 1/8 = 16/(9*8) = 2/9
4) 10⁻¹ + 5⁻² - 2⁻³ = 1/10 + 1/25 - 1/8 = 20/200 + 8/200 - 25/200 = 3/200 = 15/1000 = 0,015
√7 + √8 или 3 + √6
1 шаг - возвести в квадрат
(√7 + √8)^2 = 7 + 2√56 + 8 = 15 + 2√56
(3+√6)^2 = 9 + 6√6 + 6 = 15 + 6√6
2 шаг
15 + 2√56 или 15 + 6√6 (15 сокращается)
2√56 или 6√6 (внести под корень)
√224 или √216
√224 >√216, значит
√7 + √8 > 3+6√6