Касательная задается уравнением:
y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀)
Здесь f ’(x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.
Находим производную в точке х₀:
f'(x₀) = -2x₀ - 5.
Функция в точке х₀ имеет вид: f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6.
Тогда уравнение касательной будет таким:
у = (-2х₀ - 5)*(х - х₀) - х₀² - 5х₀ - 6.
Раскроем скобки и приведём подобные:
у = -2х*х₀- 5х + 2х₀² + 5х₀ - х₀² - 5х₀ - 6.
у = х₀² -2х*х₀ - 5х - 6.
Так как касательная проходит через точку М, то подставим её координаты в полученное уравнение.
1 = х₀² + 2х₀ + 5 - 6.
Получаем квадратное уравнение х₀² + 2х₀ - 2 = 0.
Решаем его, считая х₀ как х.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁ = (√12-2)/(2*1) = √12/2-2/2 = √12/2-1 = √3 - 1 ≈ 0.73205081;
x₂ = (-√12-2)/(2*1) = -√12/2-2/2 = -√12/2-1 = -√3 - 1 ≈ -2.73205081.
Теперь, зная точки касания, можно составить уравнения касательных.
f'(x₀) = -2x₀ - 5 = -2(√3 - 1) - 5 = -2√3 - 3.
f(x₀) = -х₀² - 5х₀ - 6 = -(√3 - 1)² - 5(√3 - 1) - 6 =
= -(3 - 2√3 + 1) - 5√3 + 5 - 6 = -3√3 - 5.
y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f (x₀) = (-2√3 - 3)(x + 2√3 + 3) - 3√3 - 5.
После упрощения получаем общее уравнение первой касательной:
0,8x - 1,73y + 2,54 = 0.
В решении.
Объяснение:
Разложите многочлен на множители:
1) x³ + 3x² + 3x - 7
Выражение подсказывает, что возможен куб суммы.
Выделить полный куб, согласно формуле:
(х³ + 3*х²*1 + 3*х*1² + 1) - 1 - 7 =
единицу добавили, единицу нужно вычесть и свернуть расписанный куб суммы:
= (х + 1)³ - 8 = (х + 1)³ - 2³.
Получили разность кубов, где (х + 1) - первое число, 2 - второе число.
Разложить по формуле разности кубов:
(х + 1)³ - 2³ = ((х + 1) - 2)*((х + 1)² + (х + 1)*2 + 2²) =
= (х - 1)*(х² + 2х + 1 + 2х + 2 + 4) =
= (х - 1)*(х² + 4х + 7).
Окончательно:
x³ + 3x² + 3x - 7 = (х - 1)*(х² + 4х + 7).
2) x³ + 3x² + 3x - 26
Выражение подсказывает, что возможен куб суммы.
Выделить полный куб, согласно формуле:
(х³ + 3*х²*1 + 3*х*1² + 1) - 1 - 26 =
единицу добавили, единицу нужно вычесть и свернуть расписанный куб суммы:
= (х + 1)³ - 27 = (х + 1)³ - 3³.
Получили разность кубов, где (х + 1) - первое число, 3 - второе число.
Разложить по формуле разности кубов:
(х + 1)³ - 3³ = ((х + 1) - 3)*((х + 1)² + (х + 1)*3 + 3²) =
= (х - 2)*(х² + 2х + 1 + 3х + 3 + 9) =
= (х - 2)*(х² + 5х + 13).
Окончательно:
x³ + 3x² + 3x - 26 = (х - 2)*(х² + 5х + 13).