Question

Известно, что x>0 и xy=20. Найдите наименьшее значение выражения x+5y

Answer 1

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Из условия задачи нам известно, что x > 0 и xy = 20.

Для начала, давайте выразим y через x. Для этого разделим обе части уравнения xy = 20 на x:

xy / x = 20 / x

Таким образом, получим y = 20 / x.

Теперь мы можем заменить y в выражении x + 5y:

x + 5 * (20 / x)

Для удобства, давайте сделаем общий знаменатель у дроби в скобках и раскроем скобки:

x + (100 / x)

Чтобы минимизировать значение этого выражения, нам нужно найти x, при котором оно будет наименьшим.

Для этого воспользуемся методом дифференцирования. Дифференцируем выражение по x:

d/dx (x + 100 / x) = 1 - 100 / x^2

Обратите внимание, что равенство d/dx (x + 100 / x) = 0 будет означать, что производная равна нулю и это будет точка локального минимума.

Решаем уравнение 1 - 100 / x^2 = 0:

1 - 100 / x^2 = 0

100 / x^2 = 1

100 = x^2

x^2 = 100

x = √100

x = 10

Теперь, чтобы найти значение выражения x + 5y при x = 10, подставим его в нашу исходную формулу для y:

y = 20 / x

y = 20 / 10

y = 2

Теперь можем найти значение выражения x + 5y при x = 10 и y = 2:

10 + 5 * 2 = 10 + 10 = 20

Таким образом, наименьшее значение выражения x + 5y при условии xy = 20 и x > 0 равно 20.