Question

Доказать, что сумма 17^6 + 46^6 делится на 37

Answer 1

$65 \cdot (17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})$

Объяснение:

$a^{2n}=(a^{2})^{n};$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2});$

$a^{n} \cdot b^{n}=(ab)^{n};$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2};$

$17^{6}+46^{6}=(17^{2})^{3}+(46^{2})^{3}=(17^{2}+46^{2})(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=$

$=((20-3)^{2}+(50-4)^{2})(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=(400-120+9+2500-400+$

$+16)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=(289+2116)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=$

$=(2100+200+16+89)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=2405 \cdot (17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=$

$=(3700-1295)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=(3700-1110-185)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4});$

$\dfrac{(3700-1110-185)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})}{37}=\dfrac{3700-1110-185}{37} \cdot$

$\cdot (17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=(100-30-5)(17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4})=$

$=65 \cdot (17^{4}-(17 \cdot 46)^{2}+46^{4});$