Question

Докажите числовое равенство
log9(6√6-15)^²+log27(6√6+15)^³=2

Answer 1

Для того чтобы доказать числовое равенство
log9(6√6-15)²+log27(6√6+15)³=2, мы можем использовать свойства логарифмов и правила преобразования логарифмов.

Давайте начнем с доказательства первого члена этого равенства:
log9(6√6-15)²

Сначала мы можем применить правило степени для выражения внутри логарифма:
log9((6√6-15)²) = 2log9(6√6-15)

Затем мы можем применить к этому выражению основное свойство логарифмов logb(x^y) = ylogb(x) и использовать свойство логарифма с основанием 9 logb(b) = 1:
2log9(6√6-15) = log9((6√6-15)²) = log9((6√6-15)^2)

Затем мы можем раскрыть квадрат выражения внутри логарифма:
log9((6√6-15)²) = log9((6√6-15)(6√6-15)) = log9(36*6-15*6√6-15*6√6+225)
= log9(216-180√6+225)
= log9(441-180√6)

Далее мы можем использовать свойство логарифма с основанием 9 logb(b) = 1:
log9(441-180√6) = 1

Теперь давайте докажем второй член равенства:
log27(6√6+15)³

Мы можем применить правило степени для выражения внутри логарифма:
log27((6√6+15)³) = 3log27(6√6+15)

Затем мы можем применить к этому выражению основное свойство логарифмов logb(x^y) = ylogb(x) и использовать свойство логарифма с основанием 27 logb(b) = 1:
3log27(6√6+15) = log27((6√6+15)³) = log27((6√6+15)^3)

Далее мы можем раскрыть куб выражения внутри логарифма:
log27((6√6+15)³) = log27((6√6+15)(6√6+15)(6√6+15))
= log27((216√6+180√6+90√6)+(90√6+225))
= log27(396√6+315)

Мы можем использовать свойство логарифма с основанием 27 logb(b) = 1:
log27(396√6+315) = 1

Таким образом, мы доказали, что первый член равенства равен 1, а второй член равенства также равен 1.

Теперь мы можем объединить эти два доказательства:
log9(6√6-15)²+log27(6√6+15)³ = 1 + 1 = 2

Таким образом, мы успешно доказали число равенства log9(6√6-15)²+log27(6√6+15)³=2.