Question

Сколько корней заданного уравнения принадлежит указанному промежутку: $4sin^{2}(2x+\frac{pi}{3})-1=0,$ x∈[0;3].

Answer 1

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны решить заданное уравнение и найти количество корней, которые принадлежат указанному промежутку.

Давайте начнем пошагово:

1. Запишем заданное уравнение: 4sin^{2}(2x+\frac{\pi}{3})-1=0.

2. Раскроем квадрат синуса, используя формулу: sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}. Получим: 4(\frac{1 - \cos(4x+\frac{2\pi}{3})}{2})-1=0.

3. Упростим уравнение: 2(1 - \cos(4x+\frac{2\pi}{3}))-1=0.

4. Раскроем скобки и упростим дальше: 2 - 2\cos(4x+\frac{2\pi}{3})-1=0.

5. Сгруппируем константы: 1 - 2\cos(4x+\frac{2\pi}{3})=0.

6. Перенесем единицу на другую сторону: 2\cos(4x+\frac{2\pi}{3}) = 1.

7. Разделим уравнение на 2: \cos(4x+\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2}.

8. Решим уравнение для \cos\theta = \frac{1}{2}. Найдем значения \theta, при которых \cos \theta равно \frac{1}{2}. Обычно это значения углов, находящихся в первом и четвертом квадрантах. В данном случае это будут значения \frac{\pi}{3} и \frac{5\pi}{3}.

9. Запишем уравнение для первого значения: 4x+\frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}. Решим его, чтобы найти значение x: 4x = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}. Таким образом, получаем x = -\frac{\pi}{6}.

10. Запишем уравнение для второго значения: 4x+\frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}. Решим его, чтобы найти значение x: 4x = \frac{5\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}. Таким образом, получаем x = \frac{\pi}{2}.

11. Теперь проверим, принадлежат ли найденные значения x указанному промежутку [0;3]. Очевидно, что -\frac{\pi}{6} не принадлежит этому промежутку, так как это отрицательное значение. Но \frac{\pi}{2}, которое мы получили вторым решением, входит в указанный промежуток.

Таким образом, ответ на вопрос будет: заданное уравнение имеет 1 корень, принадлежащий промежутку [0;3]. Этим корнем является x = \frac{\pi}{2}.