Для нахождения точки максимума функции Y=ln(x+14)^11-11x+7 необходимо использовать метод дифференцирования. Ответ будем искать с помощью первой производной.
1. Найдем производную функции Y по переменной x.
Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть u = x+14, тогда
Y' = 11(ln(u))^10 * 1/u * du/dx - 11.
Обратите внимание, что производная ln(u) равна 1/u, а производная x+14 равна 1.
2. Теперь найдем критические точки - значения x, при которых производная Y' равна нулю или не существует.
Для этого приравняем Y' к нулю и решим уравнение:
11(ln(u))^10 * 1/u * du/dx - 11 = 0.
11 * (ln(u))^10 * 1/(x+14) * 1 = 11.
(ln(u))^10 = 1,
Так как нам нужно найти x, то преобразуем уравнение в виде с переменными x и у:
(ln(x+14))^10 = 1.
10-я степень натурального логарифма может быть равна 1, только если сам логарифм равен 1 или -1:
ln(x+14) = 1 или -1.
Теперь решим каждое из этих уравнений относительно x.
a) Если ln(x+14) = 1, то экспоненцируем обе части уравнения:
e^ln(x+14) = e^1,
x+14 = e.
Отсюда получаем, что x = e - 14.
b) Если ln(x+14) = -1, то экспоненцируем обе части уравнения:
e^ln(x+14) = e^(-1),
x+14 = 1/e.
Отсюда получаем, что x = 1/e - 14.
Таким образом, мы получили две критические точки: x = e - 14 и x = 1/e - 14.
3. Теперь проведем вторую производную, чтобы определить, являются ли найденные точки максимумами или минимумами.
Для этого найдем производную от первой производной:
4. Подставим значения x = e - 14 и x = 1/e - 14 во вторую производную и проверим знаки.
a) Для x = e - 14:
Y'' = 11 * 10(ln(e))^9 * 1/(e) + 11/(e)^2.
Здесь ln(e) = 1, поэтому упрощаем:
Y'' = 11 * 10 * 1/е + 11/е^2.
Так как оба слагаемых положительны (е > 0), то Y'' > 0.
b) Для x = 1/e - 14:
Y'' = 11 * 10(ln(1/e))^9 * 1/(1/e) + 11/(1/e)^2.
Здесь 1/e = e^(-1), поэтому упрощаем:
Y'' = 11 * 10 * (-1)^9 * e + 11 * e^2.
Так как оба слагаемых положительны (е > 0), то Y'' > 0.
Таким образом, оба значения x = e - 14 и x = 1/e - 14 являются точками минимума функции Y.
Итак, точки максимума функции Y=ln(x+14)^11-11x+7 не существует. Функция имеет только точки минимума, которые равны x = e - 14 и x = 1/e - 14.
1. Найдем производную функции Y по переменной x.
Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть u = x+14, тогда
Y' = 11(ln(u))^10 * 1/u * du/dx - 11.
Обратите внимание, что производная ln(u) равна 1/u, а производная x+14 равна 1.
2. Теперь найдем критические точки - значения x, при которых производная Y' равна нулю или не существует.
Для этого приравняем Y' к нулю и решим уравнение:
11(ln(u))^10 * 1/u * du/dx - 11 = 0.
11 * (ln(u))^10 * 1/(x+14) * 1 = 11.
(ln(u))^10 = 1,
Так как нам нужно найти x, то преобразуем уравнение в виде с переменными x и у:
(ln(x+14))^10 = 1.
10-я степень натурального логарифма может быть равна 1, только если сам логарифм равен 1 или -1:
ln(x+14) = 1 или -1.
Теперь решим каждое из этих уравнений относительно x.
a) Если ln(x+14) = 1, то экспоненцируем обе части уравнения:
e^ln(x+14) = e^1,
x+14 = e.
Отсюда получаем, что x = e - 14.
b) Если ln(x+14) = -1, то экспоненцируем обе части уравнения:
e^ln(x+14) = e^(-1),
x+14 = 1/e.
Отсюда получаем, что x = 1/e - 14.
Таким образом, мы получили две критические точки: x = e - 14 и x = 1/e - 14.
3. Теперь проведем вторую производную, чтобы определить, являются ли найденные точки максимумами или минимумами.
Для этого найдем производную от первой производной:
Y'' = 11 * 10(ln(u))^9 * 1/u * du/dx - 11 * (-1/(x+14)^2) * 1.
Y'' = 11 * 10(ln(x+14))^9 * 1/(x+14) + 11/(x+14)^2.
4. Подставим значения x = e - 14 и x = 1/e - 14 во вторую производную и проверим знаки.
a) Для x = e - 14:
Y'' = 11 * 10(ln(e))^9 * 1/(e) + 11/(e)^2.
Здесь ln(e) = 1, поэтому упрощаем:
Y'' = 11 * 10 * 1/е + 11/е^2.
Так как оба слагаемых положительны (е > 0), то Y'' > 0.
b) Для x = 1/e - 14:
Y'' = 11 * 10(ln(1/e))^9 * 1/(1/e) + 11/(1/e)^2.
Здесь 1/e = e^(-1), поэтому упрощаем:
Y'' = 11 * 10 * (-1)^9 * e + 11 * e^2.
Так как оба слагаемых положительны (е > 0), то Y'' > 0.
Таким образом, оба значения x = e - 14 и x = 1/e - 14 являются точками минимума функции Y.
Итак, точки максимума функции Y=ln(x+14)^11-11x+7 не существует. Функция имеет только точки минимума, которые равны x = e - 14 и x = 1/e - 14.