Question

Довести тотожність
sin³ a+sin 3 a/cos³ a-cos3a =ctga a​

Answer 1

Для решения данной тождественности используем несколько свойств тригонометрических функций и преобразования выражений.

1. Используем формулу сложения синусов:
sin 3a = 3sin a - 4sin³ a

2. Заменяем sin 3a в исходном выражении:
sin³ a + (3sin a - 4sin³ a) / cos³ a - cos 3a

3. Объединяем подобные слагаемые:
(1 - 3sin² a) * sin a / cos³ a - cos 3a

4. Применяем формулу косинуса тройного угла:
cos 3a = 4cos³ a - 3cos a

5. Заменяем cos 3a в исходном выражении:
(1 - 3sin² a) * sin a / cos³ a - (4cos³ a - 3cos a)

6. Приводим подобные слагаемые:
sin a - 3sin³ a / cos³ a - 4cos³ a + 3cos a

7. Факторизуем числитель числом sin a и знаменатель числом cos a:
sin a (1 - 3sin² a) - 3cos a (sin² a + cos² a)

8. Используем тождество sin² a + cos² a = 1:
sin a (1 - 3sin² a) - 3cos a

9. Выражаем cos a через sin a, используя тождество sin² a + cos² a = 1:
sin a (1 - 3sin² a) - 3√(1 - sin² a)

10. Раскрываем скобки:
sin a - 3sin³ a - 3√(1 - sin² a)

11. Приводим подобные слагаемые:
sin a - 3sin³ a - 3√(1 - sin² a)

12. Записываем cotg a через sin a и cos a:
cotg a = cos a / sin a

13. Заменяем cos a и sin a в исходном выражении:
sin a - 3sin³ a - 3√(1 - sin² a) = (cos a / sin a)

14. Упрощаем выражение:
sin² a - 3sin⁴ a - 3sin a √(1 - sin² a) = cos a

15. Приводим подобные слагаемые:
sin² a - sin a - 3sin⁴ a - 3sin a √(1 - sin² a) = cos a

Таким образом, тождество sin³ a + sin 3 a / cos³ a - cos 3 a = ctg a приводит к выражению sin² a - sin a - 3sin⁴ a - 3sin a √(1 - sin² a) = cos a.