Question

Завтра сдовать контроную годовую,а я не готов.. и не знаю как решать.. y=x^3-3x^2+4 надо найти промежутки возрастания и убывания функции,точки экстремума, и наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 4] и по этой функции построить график,после этого составить уравнения касательной к графику функции y=4(корень)x где x=4 люди я горю((

Answer 1

Найдём производную функции

$y'=(x^3-2x^2+4)'=3x^2-4x$

Теперь найдём критические точки(y'=0):

$3x^2-4x=0\\x(3x-4)=0\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-4=0\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{4}{3}$

Начертим прямую, нанесём точки на интервал. Там где производная положительная функци возрастает, отрицательная убывает. Там где функция сначало возрастала(убывала), а после в какой-то точке начало убывать(возрастать), то это точка экстрэмума.

Вложение.

Промежутки возрастания, убывания(промежутки монотонности):

(-бесконечности;0] - возрастает

(0;4/3] - убывает

(4/3;+бесконечности) - возрастает.

 Экстэмумы функции: 0 - точка максимума.

                                         4/3 - точка минимума. 

Рисунок вложение. 

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке нужно найти значения на функции на концах отрезков, и на точках которые входят в этот промежуток. У нас это точки: -1;4;0;4/3

$f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+4=-1-3+4=0\\f(0)=0^3-3*0^2+4=4\\f(4)=4^3-3*4^2+4=64-48+4=20\\f(\frac{4}{3})=(\frac{4}{3})^3-3*(\frac{4}{3})^2+4=\frac{64}{27}-3*\frac{16}{9}+4=\frac{64}{27}-\frac{16}{3}+4=\\=\frac{64}{27}-\frac{144}{27}+\frac{108}{27}=\frac{28}{27}\\f_{max}=20\\f_{min}=0$

уравнение касательной:

$f=(y'(x_0))(x-x_0)+y(x_0)$ 

Найдём y(x0):

$y(x_0)=4*\sqrt{4}=8$

Найдём производную.

$y'(x)=(4*\sqrt{x})'=\frac{4}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$

$y'(x_0)=y'(4)=\frac{2}{\sqrt{4}}=1$ 

Подставим в уравнение касательной.

$f=(1)*(x-4)+8=x+4$