Question

Найти производную функции при данном значении аргумента 1 f(x)=sin²x, при x= п/4. 2 f(x)=lncosx, при x= -п/3. 3 f(t)=sint-cos² t, при t=0. 4 f(z)=ln tg z, при z=п/4.

Answer 1

$1)y=sin^2x$

 $y'=(sin^2x)'=2sinx(sinx)'=2sinx*cosx=sin2x$

 $x=\frac{\pi}4= y'(\frac{\pi}4)=sin\pi=0$

 $2)y=lncosx$

 $y'=(lncosx)'=\frac{1}{cosx}*(cosx)'=-\frac{sinx}{cosx}=-tgx$

 $x=-\frac{\pi}3=y'(-\frac{\pi}3)=-tg(-\frac{\pi}3)=tg(\frac{\pi}3)=\sqrt{3}$

 $3) y=sint-cos^2t$

 $y'=(sint-cos^2t)'=(sint)'-(cos^2t)'=cost-2cost(cost)=$

 $=cost+2cost*sint=cost+sin2t$

 $t=0=y'(0)=cos0-sin0=1-0=1$

 $4) y=lntgz$

 $y'=(lntgz)'=\frac{1}{tgz}(tgz)'=\frac{\frac{1}{cos^2z}}{tgz}=\frac{\frac{1}{cos^2z}}{\frac{sin^2x}{cos^2x}}=\frac{cos^2x}{sin^2xcos^2x}=\frac{1}{sin^2x}$

 $z=\frac{\pi}4=y'(\frac{\pi}4)=\frac{1}{sin^2(\frac{\pi}4)}=\frac{1}{\frac{2}{4}}}=\frac{4}2\2$