Question

Будут ли равносильны уравнения sinx=2 и cos2x=3? Решите уравнение $\sqrt{7x-10} =x$
ответ (первым записывай меньший корень): x1 = , x2=
Ниже еще уравнение.

Answer 1

$1)\ \ sinx=2\ \ \Rightarrow \ \ x\in \varnothing\ \ ,\ \ tak\ kak\ \ |sinx|\leq 1\\\\{}\quad \ cos2x=3\ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing \ \ ,\ \ tak\ kak\ \ |\, cos2x|\leq 1$

Уравнения равносильны .

$2)\ \ \sqrt{7x-10}=x\ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\7x-10=x^2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\x^2-7x+10=0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\7x_1=2\ ,\ x_2=5\end{array}\right\ \ \ \ \ \ Otvet:\ \ x_1=2\ ,\ x_2=5\ .$

$3)\ \ \sqrt{16-x^2}\cdot sin3x=0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \ 16-x^2\geq 0\ ,\ x\in [-4\ ;\ 4\ ]\ \Longrightarrow \\\\\\\left[\begin{array}{l}16-x^2=0\\sin3x=0\end{array}\right\ \ \left[\begin{array}{l}x_1=-4\ ,\ x_2=4\\3x=\pi n\ ,\ n\in Z\end{array}\right\ \ \left[\begin{array}{l}x_1=-4\ ,\ x_2=4\\x=\dfrac{\pi n}{3}\in ODZ\ ,\ n\in Z\end{array}\right$

$n=0\ ,\ x=\dfrac{\pi \cdot 0}{3}=0\in [-4;4\ ]\\\\n=\pm 1\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi \cdot (\pm 1)}{3}=\pm \dfrac{\pi }{3}\in [-4;4\ ]\\\\n=\pm 2\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi \cdot (\pm 2)}{3}=\pm \dfrac{2\pi }{3}\in [-4;4\ ]\\\\n=\pm 3\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi \cdot (\pm 3)}{3}=\pm \dfrac{3\pi }{3}=\pm \pi \notin [-4;4\ ]\\\\\\\left[\begin{array}{l}x=-4\ ,\ x=4\\x_1=0,\ x_{2,3}=\pm \dfrac{\pi }{3}\ ,\ x_{4,5}=\pm \dfrac{2\pi}{3},\ x_{6,7}=\pm \pi \end{array}\right$

$Otvet:\ \ x\in \{-4,\ -\pi,\ -\dfrac{2\pi}{3},\ -\dfrac{\pi}{3}\ ,\ 0\ ,\ \dfrac{\pi}{3}\ ,\ \dfrac{2\pi}{3}\ ,\ \pi,\ 4\ \}\ .$

Answer 2

1.Уравнения sinx=2 и cos2x=3равносильны, оба не имеют решений, т.к. синус и косинус не больше 1.

2. возводим в квадрат  и решаем х*х-7х+10=0

х1=2 х2=5 по теореме Виета. Проверяем ОДЗ и не плучили ли лишние корни. Подстановкой. Оба подходят.

3. Произведение равно 0 , если любой из сомножителей равен 0.

х=+-4

или x=pi*n/3, где  n удовлетворяет ОДЗ (подкоренное выражеие больше 0)   это значит , что решения 0,+-pi*/3,+-2pi*n/3, +-pi