Question

Вычислить интегралы
∫ cos⁴xdx

Answer 1

$\int\limits \cos {}^{4} (x) dx = \int\limits { (\cos {}^{2}(x) )}^{2} dx = \\ = \int\limits {( \frac{1 + \cos(2x) }{2} )}^{2}d x = \int\limits \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos {}^{2} (2x) }{4} dx = \\ = \frac{1}{4}( \int\limits \: dx + \int\limits \cos(2x) d(2x) + \int\limits \cos {}^{2} (2x) dx) = \\ = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{1}{4} \int\limits \frac{1 + \cos(4x) }{2} dx = \\ = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{1}{8} (\int\limits \: dx + \frac{1}{4} \int\limits \cos(4x) d(4x)) = \\ = \frac{x}{4} + \frac{1}{4 } \sin(2x) + \frac{x}{8} + \frac{1}{32} \sin(4x) + C= \\ = \frac{3x}{8} + \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{1}{32} \sin(4x) + C$