Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx, где f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
Найти неопределенный интеграл:
1. ∫(x2 + x – 1)dx.
2014-10-28_094604
2. ∫ (sinx – 3cosx)dx.
A) cosx-3sinx+C; B) –cosx+3sinx+C; C) -cosx-3sinx+C; D) cosx+3sinx+C; E) -cosx-sinx.
2014-10-28_094830
A) tgx-ctgx+C; B) tgx+ctgx+C; C) ctgx-tgx+C; D) tg2x+ctg2x+C; E) tg2x-ctg2x+C.
Для начала заметим, что в первом уравнении системы обе части строго положительны, поскольку степень положительного числа - всегда число положительное, что мы и видим. Значит, я могу прологарифмировать обе части данного равенства. Со вторым равенством поступим аналогично. Почему же здесь обе части положительны? Это происходит вследствие того, что x и y всегда положительны(поскольку иначе быть не может из-за того, что они входят под знаком логарифма в первом равенстве). Значит, основания степеней положительны, а потому, и степени положительны. Поэтому имеем право прологарифмировать обе части. Сделаем это. При этом будем использовать свойства логарифмов.
Напомню, что в процессе мы использовали то, что степень выражения под логарифмом я могу спустить и сделать его множителем.
Теперь введём замену переменных. Пусть lg (3x) = u, lg(5y) = v. Выразим сами логарифмы lg x и lg y через эти переменные. Для этого используем правило логарифма произведения: lg(3x) = lg3 + lg x, откуда lg x = lg(3x) - lg3 = u - lg3 Аналогично, lg(5y) = lg5 + lg y, откуда lg y = lg(5y) - lg 5 = v - lg5 Теперь подставляем это в нашу систему:
Теперь решаем эту систему. Она заметно проще предыдущей. Как решаем? Обычным путём выражения одной переменной через другую. Допустим, выразим u через v из второго уравнения и подставим в первое.
Далее производим подстановочку в первое уравнение, которое упрощаем обычными средствами:
Сразу находим, что и u = 0. Далее возвращаемся к обычным переменным: lg(3x) = 0, откуда и lg(5y) = 0, откуда
ответ: 10.
Объяснение:
y = -7
y = 1-0,8x
1-0,8x = -7
0,8x = 1-(-7)
0,8x = 8
x = 8:0,8
x = 10