Question

Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии если а5=9, а2+а9=20 sin4a+sin9a-sina/cos4a +cos a+cos9a=tg4a

Answer 1

Объяснение:

1)

По формуле нахождения n-ого члена арифметической прогрессии распишем дано:

$a_n = a_1 + (n - 1) \times d \\ a_5 = a_1 + 4d = 9 \\ a_2 +a_9= a_1 + d + a_1 + 8d = \\ = 2a_1 + 9d = 20$

Из формулы нахождения пятого члена прогрессии выразим первый член и подставим его в сумму второго и девятого членов прогрессии, чтобы найти разность прогрессии:

$a_1 = 9 - 4d \\ 2(9 - 4d) + 9d = 20 \\ 18 - 8d + 9d = 20 \\ d = 2$

Теперь, когда известна разность прогрессии, найдем её первый член из формулы нахождения пятого члена, а затем и сумму первых десяти членов:

$a_5 = a_1 + 4 \times 2 = 9 \\ a_1 = 9 - 8 = 1 \\S_n = \frac{2 a_1 + d(n - 1)}{2} \times n\\ S_{10} = \frac{2 \times 1 + 2(10 - 1)}{2} \times 10 \\ S_{10} = \frac{2 + 18}{2} \times 10 = 10 \times 10 = 100$

ответ: 100

2) Дополним вопрос:

Доказать тождество:

sin4a + sin9a - sina / cos4a + cosa + cos9a = tg4a

Доказательство:

Применим для числителя формулу разности синусов 9а и а, а для знаменателя формулу суммы косинусов 9а и а, вынесем за скобки общий множитель и сократим дробь:

$\frac{\sin(4\alpha) + \sin(9\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(4\alpha) + \cos(\alpha) + \cos(9\alpha)} = \\ \\ = \frac{\sin(4\alpha) + 2\sin(\frac{9\alpha - \alpha}{2})\cos(\frac{9 \alpha + \alpha}{2} )}{\cos(4\alpha)+ 2\cos(\frac{\alpha + 9\alpha}{2})\cos(\frac{9\alpha - \alpha}{2})} = \\ \\ = \frac{\sin(4\alpha) + 2\sin(4\alpha)\cos(5\alpha)}{\cos(4\alpha)+ 2\cos(5\alpha)\cos(4\alpha)}= \\ \\ = \frac{\sin(4\alpha)(1 + 2\cos(5\alpha))}{\cos(4\alpha)(1 + 2\cos(5\alpha))} = \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \\ \\ = \tan(4\alpha)$