2) 59! можно разложить на простые 59!= 2^47 * 3^27 * 5^13 * 7^9 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^3 * 23^2 * 29^2 * 31 * 37 * 41 * 53 * 59 наименьшее кратный делитель будет следующее простое число, то есть N=61.
5) P(x)=x^2-1001x+1 P(P(x))=0 P(P(x))=(x^2-1001x+1)^2-1001(x^2-1001x+1)+1 P(P(x))=f(x) f ' (x) = 2(x^2-1001x+1)*(2x-1001) - 1001*(2x-1001) = 0 f ' (x) = 0 (2x-1001)(2x^2-2002x-999)=0 x=1001/2 x=(1001+/-√1003999)/2 Откуда получаем что функция возрастает на интервале ( (1001-√1003999)/2 , 1001/2) U ( (1001+√1003999)/2 , +oo) убывает на интервале ( -oo, (1001-√1003999)/2 ) U ( 1001/2 , (1001+√1003999)/2 )
Производная в точке x0=(1001-√1003999)/2) слева на право от нее меняется знак с (-) на (+), в точке x0=(1001+√1003999)/2 слева на право меняется знак с (-) на (+), значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f(x0)<0.
Так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4 , из исследования монотонности функции , получаем что f(x) имеет ровна 4 различных вещественных корня.
По теореме Виета для четвертой степени , сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4 Значит надо рассмотреть только одну скобку (x^2-1001x+1)^2 = x^4-2002x^3+Q(x) x1,x2,x3,x4 корни уравнения f(x) Откуда x1+x2+x3+x4=-(-2002/1)=2002.
2сos²2x=√3sin(3п\2-x)
2cos²2x=-√3 cosx
2cos²2x+√3cosx=0
cosx(2cosx+√3)=0
cosx=0 или 2cosx+√3=0
cosx=0
x=п\2 +пn
2cosx+√3=0
cosx=-√3\2
x=5п\6 +2пn
с отбором корней получается п\2 и 7п\6