Question

Найдите y'(x0) по определению производной в указанной точке 1) y=x^2+1/x^2+5x при x0=-1
2) y=x^3/(x+1)^2 при x0=-2​

Answer 1

блин я старался но не смог прости я решал даже с калькулятрой

Answer 2

1) Для нахождения производной функции y(x) по определению, нам нужно вычислить предел приближения функции, когда изменение x стремится к 0:

y'(x_0) = lim[(y(x) - y(x_0)) / (x - x_0)] при x стремится к x_0

Теперь подставим значения функции и точки в формулу:

y(x) = x^2 + 1 / x^2 + 5x
x_0 = -1

y'(x_0) = lim[(x^2 + 1 / x^2 + 5x - (-1^2 + 1 / (-1)^2 + 5(-1))) / (x - (-1))] при x стремится к -1

Выполним вычисления:

x^2 + 1 / x^2 + 5x - (-1^2 + 1 / (-1)^2 + 5(-1)) = x^2 + 1 / x^2 + 5x + 6 / x^2 + 5x + 6
= (x^2 + 6) / (x^2 + 5x) + 6
= ((x^2 + 6) / (x(x + 5))) + 6

Теперь можем вычислить предел, подставив x = -1:

y'(x_0) = lim[((-1^2 + 6) / (-1((-1) + 5))) + 6] при x стремится к -1
= lim[(7 / (-1 * 4)) + 6] при x стремится к -1
= lim[(-7/4) + 6] при x стремится к -1
= lim[(29/4)] при x стремится к -1
= 29/4

Таким образом, производная функции y(x) по определению в точке x_0 = -1 равна 29/4.

2) Процедура для нахождения производной для второй задачи аналогична первой:

y(x) = x^3 / (x + 1)^2
x_0 = -2

y'(x_0) = lim[(y(x) - y(x_0)) / (x - x_0)] при x стремится к x_0

Подставим значения функции и точки:

y(x) = x^3 / (x + 1)^2
x_0 = -2

y'(x_0) = lim[(x^3 / (x + 1)^2 - (-2)^3 / ((-2) + 1)^2) / (x - (-2))] при x стремится к -2

Выполним вычисления:

(x^3 / (x + 1)^2 - (-2)^3 / ((-2) + 1)^2) / (x - (-2))
= ((x^3 / (x + 1)^2) - (-8 / 1)) / (x + 2)
= (x^3 / (x + 1)^2) + 8 / (x + 2)

Теперь подставим значение x = -2 и вычислим предел:

y'(x_0) = lim[(((-2)^3 / ((-2) + 1)^2) + 8 / (-2 + 2))] при x стремится к -2
= lim[(((-2)^3 / 1^2) + 8 / 0)] при x стремится к -2
= lim[((-8 / 1) + 8 / 0)] при x стремится к -2
= lim[(-8 + 8 / 0)] при x стремится к -2
= несуществующий предел

Таким образом, производная функции y(x) по определению в точке x_0 = -2 не существует.