Question

Докажите, что при любом n квадрат размера 2^n на 2^n без одной угловой клетки можно разбить на уголки из трёх клеток

Answer 1

База индукции: Квадрата два на два, у которого отсутствует одна угловая клетка, естественным образом разбивается на уголки из трёх клеток (Рис. 3).

Индукционное предположение: Квадрат $2^k$ на $2^k$ с отсутствующей угловой клеткой можно разбить на уголки из трёх клеток.

Индукционный шаг: Пусть есть квадрат $2^{k+1}$ на $2^{k+1}$, разобъем его на четыре части так, как указано на Рис. 1. Получим четыре квадрата $2^k$ на $2^k$ и четыре незаполненных клетки, три из которых можно заполнить уголком (на Рис. 2 синий). Квадраты же $2^k$ на $2^k$  без угловных клеток мы можем заполнить согласно индукционному предположению.

Вывод: Квадрат $2^{n}$ на $2^{n}$ , без угловой клетки можно разбить на уголки из трёх клеток для $\forall \ n \in N$