Найти частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.
Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:
1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения y``+y`-2y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения
в правой части 4e²ˣ-2x+1. Значит предположу что частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде: y=Аe²ˣ+Bx+C
Найдём первую и вторую производную:
подставим в левую часть
и теперь приравняем к правой
отсюда составим систему
![\displaystyle \left \{ {{4A=4; -2B=-2} \atop {B-2C=1}} \right. \]\\\\A=1; B=1;C=0](/tpl/images/3220/5151/2929a.png)
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
4) теперь найдем частное решение
y(0)=3; y`(0)=5
решая систему получим
Cosx + Cosy = 2Cos((x+y)/2)Cos((x-y)/2)
Cosx - Cosy = -2Sin((x+y)/2)Sin((x-y)/2)
2Cos3x*Cos2x = 2Cos5x*Cos2x
2Cos2x(Cos5x - Cos3x)=0
-4Cos2x*Sin4x*Sinx = 0
Cos2x =0,⇒ 2x = π/2 + πk,⇒ x= π/4 + πk/2 k∈Z
Sin4x = 0,⇒ 4x = πk, x = πk/4
Sinx = 0,⇒ x = πk
x= πk/4, x = πk, k∈Z