Question

1. Представьте в виде произведения многочленов выражение: 1) (5а - 2b)(5a + 2b) - 10ac + c2;
2) (a? - 4a)2 - 16;
3) a3 - 12ab2 + 4a?b - 27b3.
2. Разложите на множители трёхчлен х2 + 4ху - 5у2, выде-
лив предварительно квадрат двучлена.​

Answer 1

1) Произведение многочленов можно найти, используя правило
разности квадратов. В данном случае у нас есть выражение (5а - 2b)(5a + 2b) - 10ac + c2.

Для начала разложим выражение (5а - 2b)(5a + 2b) по правилу разности квадратов:
(5а - 2b)(5a + 2b) = (5а)2 - (2b)2 = 25а2 - 4b2.

Теперь полученное выражение можно записать как:
25а2 - 4b2 - 10ac + c2.

2) В данном случае нам нужно разложить выражение (a? - 4a)2 - 16.

Сначала сделаем квадрат двучлена (a? - 4a):
(a? - 4a)2 = (a? - 4a)(a? - 4a).

Раскроем скобки:
(a? - 4a)(a? - 4a) = a? * a? - 4a * a? - 4a * a? + 16a2.

Упростим полученное выражение:
a? * a? - 4a * a? - 4a * a? + 16a2 = a?2 - 8a? + 16a2.

Теперь выражение можно записать как:
a?2 - 8a? + 16a2 - 16.

3) Здесь нам нужно разложить выражение a3 - 12ab2 + 4a?b - 27b3.

Мы должны сгруппировать подобные слагаемые:
a3 - 12ab2 + 4a?b - 27b3 = (a3 + 4a?b) + (-12ab2 - 27b3).

Теперь можно разложить полученные выражения:
a3 + 4a?b = a(a2 + 4ab),
-12ab2 - 27b3 = -3b(4ab + 9b2).

Таким образом, исходное выражение можно записать как:
a(a2 + 4ab) - 3b(4ab + 9b2).

2. Разложим на множители трехчлен х2 + 4ху - 5у2, выделив предварительно квадрат двучлена.

Коэффициент перед х^2 равен 1, поэтому смотрим на знак
коэффициента при у^2. В нашем случае это -5. Ищем два числа,
произведение которых равно -5, а сумма равна коэффициенту при ху (4).
В данном случае эти числа -5 и 1. Теперь заменяем член 4ху на сумму
из двух членов: 5ху + ху:
х2 + 5ху + ху - 5у2 =
(х2 + 5ху) + (ху - 5у2) =
х(х + 5у) + у(х - 5у).

Мы выделили квадрат двучлена х2 + 5ху, и результат разложения можно записать как:
х(х + 5у) + у(х - 5у).