Когда в заданиях попадается модуль, надо от модуля освободиться ( говорят: снять знак модуля). Это значит, записать условие без модуля. А это надо делать только учитывая : |x | = x при х ≥ 0 | x| = - x при х< 0 под 1-м модулем стоит х -1, под 2-м х -2 х -1 = 0 х -2 = 0 х =1 х = 2 -∞ 1 2 +∞ Получилось 3 интервала. Значит, на каждом будет своя запись: а) (-∞; 1) -(х-1) -(х-2) > 3 + x - x +1 -x +2 > 3 +x -3x > 0 x < 0 б) (1;2) х -1 -(х-2) > 3 +x x -1 -x +2 > 3 +x -x > 2 x < -2 (не входит в наш промежуток) в) (2;+∞) х -1 +х -2 > 3 +x x > 6
|x-1|+|x-2| > 3+x Чтобы решить неравенство, необходимо раскрыть модули. Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки,в которых подмодульные выражения меняют знак: x-1=0; x=1 x-2=0; x=2 Нанесем эти значения х на числовую прямую:
[1][2] Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:
[1][2] x-1 - + + x-2 - - +
Раскроем модули на каждом промежутке ( мы можем граничные точки 1 и 2 включать в оба промежутка): a) x<=1 На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком: -(x-1)-(x-2) >3+x С учетом того, что x<=1, составим систему неравенств: {-(x-1)-(x-2)>3+x {x<=1 Решаем 1-е неравенство: -x+1-x+2-x>3 -3x>3-1-2 -3x>0 x<0 Получаем: {x<0 {x<=1 Решением этой системы является промежуток x<0
б) 1<=x<=2 На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе - отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй - с противоположным: (x-1)-(x-2)>3+x С учетом того,что 1<=x<=2, составим систему неравенств: {(x-1)-(x-2)>3+x [1<=x<=2 Решим 1-е неравенство: x-1-x+2>3+x -x>1-2+3 -x>2 x<2 Получаем: {1<=x<=2 {x<2 Система не имеет решений в) x>=2 На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны.Поэтому мы их раскроем без смены знака: (x-1)+(x-2)>3+x С учетом того, что x>=2, составим систему: {(x-1)+(x-2)>3+x [x>=2 Решим 1-е неравенство: x-1+x-2-x>3 x>3+1+2 x>6 Получаем: {x>=2 {x>6 Решением этой системы является промежуток: (6;+ беск.) Объединим два промежутка и получим ответ: x<0; x>6
| x| = - x при х< 0
под 1-м модулем стоит х -1, под 2-м х -2
х -1 = 0 х -2 = 0
х =1 х = 2
-∞ 1 2 +∞
Получилось 3 интервала. Значит, на каждом будет своя запись:
а) (-∞; 1)
-(х-1) -(х-2) > 3 + x
- x +1 -x +2 > 3 +x
-3x > 0
x < 0
б) (1;2)
х -1 -(х-2) > 3 +x
x -1 -x +2 > 3 +x
-x > 2
x < -2 (не входит в наш промежуток)
в) (2;+∞)
х -1 +х -2 > 3 +x
x > 6