В рамках мероприятий по охране природы ведется учет числа косулей одной из популяций. С начала учета число косулей (К) изменяется по формуле К-- 72+ 10 z+ 56 , где п выражено в годах. a) Через сколько лет число косулей было максимальным и каким было это число? б) Через сколько лет после начала учета популяция косулей может исчезнуть?
Разрешим наше дифференциальное уравнение относительно производной
Воспользуемся определением дифференциала
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Разделяем переменные
интегрируя обе части уравнения, получаем
Решение задачи Коши нет, т.к. при х=0 логарифм ln0 не существует
Пример 3.
Убедимся, является ли дифференциальное уравнение однородным.
Итак, дифференциальное уравнение является однородным.
Исходное уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными если сделаем замену
Подставляем в исходное уравнение
Получили уравнение с разделяющимися переменными
Воспользуемся определением дифференциала
Разделяем переменные
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Обратная замена
Пример 4.
Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами также однородное.
Воспользуемся методом Эйлера
Пусть
Тогда общее решение будет иметь вид:
Пример 5.
Аналогично с примером 4)
Пусть
Общее решение:
Найдем производную функции
Подставим начальные условия