Question

Ну просто надо если не сделаю этот пример буду полным критином) 1. используя метод индукции, докажите, что для любого натурального числа n выражение 33n+2+5*23n+1 кратно 19.

Answer 1

$3^{3n+2} + 5*2^{3n+1}$

1) Если n=1, то 3⁵+5*2⁴ = 323 кратно 19. Значит при n=1 утверждение верно

Предположим, что оно верно при n=k, т.е.

$3^{3k+2} + 5*2^{3k+1}$ кратно 19

Докажем, что оно верно при n=k+1

$3^{3k+5} + 5*2^{3k+4} = 3^{3k+2}3^3 + 5*2^{3k+1}*2^3$

$3^{3k+2}3^3 + 5*2^{3k+1}*2^3=8(3^{3k+2}+5*2^{3k+1}) + 19*3^{3k+2}$

$8(3^{3k+2}+5*2^{3k+1})$ это слагаемое кратно 19 (по предположению n=k)

$19*3^{3k+2}$ также кратно 19

Каждое слагаемое делится на 19, следовательно, и вся сумма кратна 19. Наше утверждение верно для всех n∈N