Давай рассмотрим данное неравенство и найдем его решение.
Итак, начнем с упрощения данного неравенства:
х^4 - 2х - 16х + 32 ≤ 0.
Сгруппируем подобные слагаемые:
х^4 - 18х + 32 ≤ 0.
Чтобы решить неравенство, нужно найти значения х, для которых левая часть неравенства меньше или равна нулю.
Теперь разложим левую часть неравенства на множители:
(х - 4)(х^3 + 4х^2 - 2х - 8) ≤ 0.
Два множителя в скобках, (х - 4) и (х^3 + 4х^2 - 2х - 8), должны быть меньше или равными нулю.
Рассмотрим каждое из этих неравенств по отдельности:
1. (х - 4) ≤ 0.
Вычитаем 4 из обеих частей:
х ≤ 4.
2. (х^3 + 4х^2 - 2х - 8) ≤ 0.
Для упрощения этого неравенства, воспользуемся методом перебора, применив график или таблицу знаков.
Определяем знак каждого множителя внутри скобок в зависимости от значения х:
- когда х = 0, получаем (-8) ≤ 0 (истина);
- если 0 < х < 2, получаем положительное значение, так как все слагаемые положительны, значит, (х^3 + 4х^2 - 2х - 8) > 0 (ложь);
- если х = 2, получаем (-4) ≤ 0 (истина);
- если х > 2, получаем положительное значение.
Исходя из графика или таблицы знаков, мы можем сделать вывод, что (х^3 + 4х^2 - 2х - 8) ≤ 0, когда 0 ≤ х ≤ 2.
В итоге, мы получили два интервала значений х: [0, 2] и х ≤ 4.
Теперь нужно найти пересечение двух интервалов:
[0, 2] ∩ х ≤ 4.
В пересечении мы выбираем максимальное значение, поэтому получаем окончательное решение:
х ≤ 4.
Таким образом, множество решений неравенства х^4 - 2х - 16х + 32 ≤ 0 это х ≤ 4.
Он понадобится нам в дальнейшем процессе решения следующих математических задач.
1. Сначала найдем значения функции на концах отрезка [-1,5; 1,5].
Подставим первую границу отрезка в функцию:
y = (-1,5)^3 + 9*(-1,5)^2 + 15 = -3,375 + 20,25 + 15 = 31,875
Значение функции на первой границе равно 31,875.
Теперь подставим вторую границу отрезка в функцию:
y = (1,5)^3 + 9*(1,5)^2 + 15 = 3,375 + 20,25 + 15 = 38,625
Значение функции на второй границе равно 38,625.
2. Теперь нам нужно найти критические точки функции на отрезке [-1,5; 1,5]. Это могут быть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Сначала найдем производную функции:
y = x^3 + 9x^2 + 15
y' = 3x^2 + 18x
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 + 18x = 0
x(3x + 18) = 0
У нас есть два множителя, которые могут быть равными нулю. Проверим каждый из них:
1) x = 0
2) 3x + 18 = 0 => 3x = -18 => x = -6
Получили две критические точки: x = 0 и x = -6.
3. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках.
Подставим x = 0 в функцию:
y = 0^3 + 9*0^2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15
Значение функции в точке x = 0 равно 15.
Подставим x = -6 в функцию:
y = (-6)^3 + 9*(-6)^2 + 15 = -216 + 324 + 15 = 123
Значение функции в точке x = -6 равно 123.
4. Теперь сравним все найденные значения функции: 31,875, 38,625, 15, 123.
Наименьшее значение функции - 15, полученное при x = 0.
Наибольшее значение функции - 123, полученное при x = -6.
Ответ: Наименьшее значение функции y = x^3 + 9x^2 + 15 на отрезке [-1,5; 1,5] равно 15, а наибольшее значение - 123.
log11(x+4)+log11(x+7)=log11(7+x) одз х+4>0,х>-4 х+7>0,х>-7
log11((x+4)*(x+7))=log11(7+x)
(x+4)*(x+7)=7+x
x^2+7x+4x+28=7+x
x^2+7x+4x+28-7-x=0
x^2+10x+21=0
D=100-84=16
x1=(-10-4)/2=-7 (не подходит)
x2=(-10+4)/2=-3
ответ:х=-3