Question

1) при каких значениях параметра уравнение не имеет решений 2) при каких значениях параметра уравнение имеет решения?

Answer 1

1)

$\frac{sinx-1}{sinx-2}+\frac{2-sinx}{sinx-3}+a=0$

$(sinx-1)(sinx-3)+(2-sinx)(sinx-2)+a(sinx-2)(sinx-3)=0$

$sin^2x-4sinx+3-(4-sin^2x)+a(sin^2x-5sinx+6)=0$

$sin^2x-4sinx+3-4+sin^2x+asin^2x-5asinx+6a=0$

$(a+2)sin^2x-(5a+4)sinx+3+6a=0$

Сделаем замену:

$six=t$

Получаем квадратное уравнение относительно t:

$(a+2)t^2-(5a+4)t+3+6a=0$

$D=(5a+4)^2-4(a+2)(3+6a)=25a^2+40a+16-4(6a^2+15a+6)=25a^2+40a+16-24a^2-60a-24=a^2-20a-8$

Так как данное уравнение не должно иметь решений дискриминант должен быть отрицательным:

$a^2-20a-8<0$

$(a-\frac{20+12\sqrt{3}}{2})(a-\frac{20-12\sqrt{3}}{2})<0$

Получаем a∈$(\frac{20+12\sqrt{3}}{2};\frac{20-12\sqrt{3}}{2})$

ответ: a∈$(10+6\sqrt{3};10-6\sqrt{3})$

2)

$sin^2x+asinx+a^2-1=0$

Сделаем замену:

$six=t$

Получаем квадратное уравнение относительно t:

$t^2+at+a^2-1=0$

$D=a^2-4(a^2-1)=-3a^2+4$

Чтобы данное уравнение имело решения необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля, или равен нулю получаем:

$-3a^2+4\geq0$

$(a-\frac{2}{\sqrt{3}})(a+\frac{2}{\sqrt{3}})\geq0$

Получаем a∈$(-\frac{2}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}})$

ответ:a∈$(-\frac{2}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}})$