Question

Выражение ( sin a/2 + cos a/2)^2/ 1+sina найдите угловой коефицент касательной, проведенной к графику функции f(x)=2-x^2+3x^4 в точке с абсцисой x0= -2 точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = 4t^2 где x(t)-координата точки в момент времени t. найдите скорость точки при t=2.

Answer 1

$\displaystyle \frac{(\sin \frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2})^2}{1+\sin\alpha}=\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\alpha}=\frac{1+\sin\alpha}{1+\sin \alpha}=1$

Здесь было использовано основное тригонометрическое тождество $\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}=1$ и использована формула синуса двойного угла: $2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\sin(2\cdot\frac{\alpha}{2})=\sin\alpha$

2) По геометрическому смыслу производной: $f'(x_0)=k$, т.е. производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

$f'(x)=(2-x^2+3x^4)'=12x^3-2x\\ k=f'(-2)=12\cdot(-2)^3-2\cdot(-2)=-92$

ответ: -92.

3) По физическому смыслу производной: v(t) = x'(t).

$x'(t)=(4t^2)'=8t\\ v(2)=8\cdot2=16$

ответ: 16 м/с.