Для решения данного неравенства, нам потребуется использовать некоторые свойства логарифмов.
Предположим, что x > 0 и (x-1) > 0. Так как логарифмы определены только для положительных чисел.
Давайте начнем с применения основного свойства логарифма, которое мы используем для сокращения комбинации логарифмов с одинаковыми основаниями.
lgx + lg(x-1) < lg 6
Так как основание логарифма везде одинаковое, мы можем сложить левую и правую части неравенства:
lg(x * (x-1)) < lg 6
Теперь, используя свойство логарифма lg(a*b) = lg a + lg b, мы можем записать данное неравенство в виде:
lg(x^2 - x) < lg 6
Мы хотим избавиться от логарифма и нам понадобится использовать другое свойство логарифма:
Если lg a < lg b, то a < b.
В данном случае, у нас имеется логарифм с переменной в неравенстве, поэтому нам нужно переписать его в экспоненциальной форме:
x^2 - x < 6
Перенесем все члены на одну сторону уравнения:
x^2 - x - 6 < 0
Теперь нам нужно решить данное квадратное уравнение. Мы замечаем, что оно разлагается на множители:
(x - 3)(x + 2) < 0
Так как у нас меньше неравенство, наша задача состоит в том, чтобы определить значения x, для которых выражение между множителями меняет знак с минуса на плюс. Это происходит при x < -2 или 3 < x.
Теперь мы получили два интервала, где неравенство выполняется: (-∞, -2) и (3, +∞).
Однако, мы должны помнить, что изначально предполагали, что x > 0 и (x-1) > 0. Поэтому, чтобы удовлетворить этим условиям, мы должны выбрать только отрезок (3, +∞) в качестве решения.
Таким образом, решением данного неравенства является интервал (3, +∞). Чтобы ответ был полным и точным, мы также можем записать его в виде неравенства:
x > 3
Полученное решение означает, что значение x должно быть больше 3, чтобы неравенство выполнялось.
Я надеюсь, что этот ответ понятен и помогает вам в понимании решения данного неравенства. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!
lgx(x-1)<lg6
x(x-1)<6
x^2-x-6<0
x1=3 x2=-2
x>1
(1;3)