Question

Прямая 2х-у+2=0 пересекает окружность x^2+y^2+2(x-5y)+1=0 в точках а и в. найти расстояние от середины отрезка ав до центра окружности. я не могу найти координаты центра окружности, координаты середины отрезка ав получились такие (-1 ; 0) . )

Answer 1

Приводим уравнение окружности к каноническому виду

x^2+y^2+2(x-5y)+1=0

(x^2+2x+1)+(y^2-10y+25)-1-25+1=0

(x+1)^2+(y-5)^2=25

Это окружность с центром в точке (-1;5) и радиусом 5

Рассматриваем прямую

2x-y+2=0

-y=-2-2x

y=2+2x

Подставляем это значение игрека в уравнение окружности, откуда x1=-1, x2=3

Теперь находим f() от этих значений

y1=2-2=0; y2=2+6=8

Значит прямая пересекает окружность в точках А(-1;0) и В(3;8)

Середина отрезка в точке С(1;3), а прямая пересекает окружность как раз-таки в центре окружности

Нам нужно найти расстояние (а не длину отрезка), поэтому расстояние равно 2 (от -1 до 1)

Answer 2

2x-y+2  =  0  >    y  =  2x  +  2

x^2  +  y^2  +  2(x  -  5y)  +  1  =  0   >   x^2  +  2x  +  1  +  y^2  -  2*5y  +  5^2  -  5^2  =  0

(x  +  1)^2  +  (y  -  5)^2  =  25  >   (-1;    5)   координаты  центра  окружности.

Подставим  у  =  2х  +  2  в  уравнение  окружности

x^2  +  2x  +  1  +  (2x  +  2  -  5)^2  -  25  =  0

x^2  +  2x  +  4x^2  -  12x  +  9  -  24  =  0

5x^2  -  10x  -  15  =  0

x^2  -  2x    -    3  =  0

По  теореме  Виета    х_1  =  3,         х_2  =  -1

у_1  =  2*3  +  2  =    8                            у_2  =  2*(-1)  +  2  =  0

Получили  координаты  точек          А(3;   8),         В(-1;   0)

(3  +  (-1)) / 2  =  1,            (8  +  0) / 2  =  4    (1;   4)   -   координаты  середины  отрезка   АВ

V((1  -  (-1))^2   +  (4  -  5)^2)  =  V(4  +  1)   =  V5     Расстояние  от  центра  окружности

                                                                                         до  середины  отрезка  АВ

ответ.        V5