Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано.
Исходное уравнение приводится к виду: y^3+py+q=0.
Здесь применяются следующие формулы:
p=-b^2/(3a^2 )+c/a, q=(2b^3)/(27a^3 )-bc/(3a^2 )+d/a.
где
a - коэффициент при x^3,
b - коэффициент при x^2,
c - коэффициент при x,
d - свободный член.
Подставим наши значения в данные формулы, мы получим:
p = -3, q = 7.
Потом использовав формулу: Q = (p/3)³ + (q/2)², вычислим количество корней кубического уравнения. Если:
Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня;
Q < 0 — три вещественных корня;
Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трехкратный вещественный корень.
В нашем случае Q = 11,25, будем иметь один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
А сами корни найдём по следующим формулам:
x1 = α + β − (b/3a);
x2,3 = −((α+β)/2) − (b/3a) ± i((α−β)/2)√3;
где α = (−(q/2) + √Q)^(1/3), β = (−(q/2) − √Q)^(1/3).
Подставив наши значения в выше указанные формулы вычислим что:
α = −0,5264, β = −1,8995
x1 = −4,42599; это вещественный корень.
x2,3 =−0,787 ± i·1.1891.
1) (a - b)² = a² - 2ab + b²
(2х - 1)² = 16
(2х)² - 2 · 2х · (-1) + (-1)² = 16
4х² + 4х + 1 - 16 = 0
4х² + 4х - 15 = 0
D = b² - 4ac = 4² - 4 · 4 · (-15) = 16 + 240 = 256
√D = √256 = 16
х₁ = (-4-16)/(2·4) = (-20)/8 = -2,5
х₂ = (-4+16)/(2·4) = 12/8 = 1,5
ответ: (-2,5; 1,5).
3) (a + b)² = a² + 2ab + b²
25 - (5х + 1)² = 0
25 - ((5х)² + 2 · 5х · 1 + 1²) = 0
25 - (25х² + 10х + 1) = 0
25 - 25х² - 10х - 1 = 0 (умножим обе части уравнения на (-1))
25х² + 10х + 1 - 25 = 0
25х² + 10х - 24 = 0
D = b² - 4ac = 10² - 4 · 25 · (-24) = 100 + 2400 = 2500
√D = √2500 = 50
х₁ = (-10-50)/(2·25) = (-60)/50 = -1,2
х₂ = (-10+50)/(2·25) = 40/50 = 0,8
ответ: (-1,2; 0,8).
Второе уравнение после раскрытия скобок: х^2-6х+9 < х^2-2х+3х-6+1 или -6х+9 < х-5 или 7х > 14 или х>2.
Если не рассматривать первое уравнение ответ х = от 2 до плюс бесконечности.