Question

Найти сумму корней уравнения sin(x+2)=sin x+ sin 2 промежуток [-π; 2π]

Answer 1

$sin(x+2)=sin x+ sin 2\\ sin(x+2)=2sin\frac{x+2}{2}cos\frac{x-2}{2}\\ \frac{x+2}{2}=t\\ sin2t-2sint*cos(t-2)=0\\ 2sint*cost-2sint*cos(t-2)=0\\ sint(cost-cos(t-2))=0\\ sint*2sin\frac{2t-2}{2}*sin\ 1=0\\ sin\ t* sin(t-1)=0\\ \left[ \begin{matrix} sin\ t=0 \\ sin(t-1)=0 \end{matrix}\right. <= \left[ \begin{matrix} t=\pi k \\ t-1=\pi n \end{matrix}\right. <=\left[ \begin{matrix} t=\pi k \\ t=1+\pi n \end{matrix}\right.$
Возвратимся к переменной х:
$\left[ \begin{matrix} \frac{x+2}{2}=\pi k \\ \frac{x+2}{2}=1+\pi n \end{matrix}\right. <= \left[ \begin{matrix} x_1=-2+2\pi k \\ x_2=2\pi n \end{matrix}\right.$
Отберем корни на отрезке [-П; 2П]:
из первой серии получим -2 и -2+2П;
из второй серии получим 0 и 2П.
Сумма этих четырех чисел равна 4П-4.
ответ: 4П-4.