Question

Найдите наибольшее и наименьшее натуральное значения n при которых уравнение: имеет натуральные решения. объясните на уровне 9 класса, как решать такие .

Answer 1

(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо , 
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy  
видно что x^2+y^2>2xy .но только при  x=y  => x^2+y^2>=2xy
соответственно если мы  возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой,  при х не = у 
(x^2+y^2)^2010>=(2xy)^2010  , следовательно n>=2010. при х  не = у  

То есть мы по сути должны для начало  решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение!

так как мы сказали раннее что n>=2010, то при n=2010,
(x^2+y^2)^2010=(xy)^2010
x^2+y^2=xy
(x+y)^2-2xy=xy
(x+y)^2=3xy
слева число будет точным квадратом какого то числа  , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3,  иначе квадрат не получиться, что противоречит  выражению стоящему слева!
Следовательно  n>2010 
Пусть х=y . тогда 
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
(2x^2)^2010 =x^(2n)
2^2010*x^4020=x^2n
2^2010=x^(2n-4020)
Так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2;  то справа значит будет тоже  четное и х=2^k, где к=1,2,4,8,16,,,
Так как  пусть  x числа четное 10,12,14 ,,, но не степень  двойки тогда она  должна делиться на числа 2,4,8,16,32,,, !

2^2010=x^(2n-4020)
2^2010=2^(2n-4020)
n=3015,  но  наибольшее ли оно , так как 
1005=k(n-2010)
то "k" отудого делитель  1005 но так как "k"  четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1!
Значит это будет и наибольшим !
Попробуем при тех же самых х=у  найти минимальное!  то есть я не уверен и уверен что есть 
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
2^2010=x^(2n-4020)
так как  было сказано что x=2.4.8.16
1005= k(n-2010)
очевидно решение при n=2011. k=1  так как k>0 
отудого x^2=2^2010 => x=2^1005. 

Теперь рассмотрим при х>y
(x^2+y^2)^2010=(xy)^n
но так как 
x^2+y^2 > 2xy 
то есть при разных х , у   оно не имеет    решений!

P.S в таких задачах главное  преобразовать уравнение в  более простое, проверить  решения при х=у,  х>y. Что то заметить и так далее!

Answer 2

При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением.
Поэтому (xy)^n = (x^2+y^2)^2010 (2xy)^2010  (xy)^2010`. Значит, n > 2010.
Предположим, что `x ne y`. Тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y = p^m b`, и числа a и b не делятся на p. Для определенности можно считать, что `k gt m ge 0`.
Тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1)
Из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 .
Значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. Левая часть на p не делится. Противоречие.
Пусть теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем: `x^(n-2010) = 2^1005`. Откуда `x = 2^q = 0,1,2,...` и q(n - 2010) = 1005 .
Поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. По условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. Поэтому нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015, При n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2.

ответ: 2011, 3015