Question

Найдите все значения параметра "р" при которых неравенства x ≤ 2p+2 и x^2+4x+3+p ≤ 0 имеют единственное общее решение.

Answer 1

Найдите все значения параметра "р" при которых неравенства x ≤ 2p+2 и x^2+4x+3+p ≤ 0 имеют единственное общее решение.
Неравенство x^2+4x+3+p  ≤ 0 имеет решение при
D > 0    4(1-p) > 0  
D = 16-4(3+p) = 4 - 4p =4(1-p)
4(1-p) > 0   или p  ≤ 1 
Если решать графически то видно что общее решение неравенств будет если
 парабола   x^2+4x+3+p косается одной точкой оси Oх или если прямая х=2р+2 проходит через левую точку пересечения параболы x^2+4x+3+p =0 оси Ох( значение 2р+2 является решением уравнения x^2+4x+3+p =0)
Найдем эти значения р.
1. Определим значения р при котором парабола касается в одной точке оси Ох  
 D = 0   или   4(1-p) =0  
                       р=1 
2. Определим значения р при которых парабола имеет две точки пересечения с осью Ох но крайняя левая равна 2р+2
x^2+4x+3+p=0
D = 4(1-p)
Крайний левый корень равен
x =(-4 -2корень(1-р))/2 =-2-корень(1-p)
-2-корень(1-p) =2p+2
корень(1-р) =-2р-4
ОДЗ: -2р-4> 0  или р <-2
Возводим обе части уравнения в квадрат
1-р =4p^2+16p+16
4p^2+17p+15=0
D =289 - 240=49
p1=(-17-7)/8 = -3
p2=(-17+7)/8 =-1,25(не подходит так как не входит в ОДЗ)
Получили два решения:1;-3
Проверим каждое
при р=1
 {x ≤ 4
 {x^2+4x+4 ≤ 0
или 
{x ≤ 4
{x=-2
 при р=-3
 {x ≤ -4
 {x^2+4x ≤ 0
или 
{x ≤ -4
{-4≤x ≤ 0
Поэтому неравенства имеют единственное общее решение при p=1 и p=-3  
ответ:-3;1