Пусть (x₀;y₀) - точка касания. Так как точка (x₀;y₀) находится на параболе y=x², то точка имеет координаты (x₀;x²₀)
0 < x₀< 6
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x₀;y₀) имеет вид:
y- f(x₀)=f`(x₀)(x-x₀)
f`(x)=2x
f`(x₀)=2x₀
y -x²₀ =2x₀(x-x₀)
y=2x₀x - x²₀ - уравнение касательной
Касательная пересекает ось Ох в точке A(x₀/2)
2x₀x - x²₀=0
x₀(2x - x₀)=0
х=x₀/2
Касательная пересекает прямую х=3 в точке B(3; 6x₀ - x²₀)
y=2x₀ 3 - x²₀
y = 6x₀ - x²₀
Пусть С(3;0)
BC=6x₀ - x²₀
AC=3-(x₀/2)
S_(Δ)=(1/2)AC*BC=(1/2)(3-(x₀/2))·(6x₀ - x²₀) - исследуем функцию на экстремум на [0;3]
Обозначим x₀=t
S(t)=(1/2)(3-(t/2))·(6t - t²)
S(t)=(1/4)(6-t)·(6t - t²)
S(t)=(1/4)*F(t)
F(t)=t(6-t)^2
S(t) принимает наибольшее значения в тех же точках, в каких и F(t)
Исследуем на [0;3]
F`(t)=t`·(6-t)²+t·((6-t)²)`=(6-t)²+t·2(6-t)·(6-t)`=(6-t)(6-t-2t)=(6-t)(6-3t)
F`(t)=0
6-t=0 ⇒ t=6 не принадлежит [0;3] или 6-3t=0 ⇒ t=2 принадлежит [0;3]
t=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
О т в е т. S(2)=(1/4)(6-2)·(6·2 - 2²) ; S(2)=8 - наибольшее значение
2)(2a-5b)(2a+5b) - (6b-3a)(6b+3a)=4a²-25b²-(36b²-9a²)=
=4a²-25b²-36b²+9a²=13a²-61b²
3) (a-2)(a+2) +4=a²-4+4=a².
4)(x-3y)(x+3y)=x²-9y².
5)(m -3n)(m+3n)=m²-9n².
6)49 - 9x²=(7-3x)(7+3x).
7) (6x-1)(6x+1)-4x(9x+3)=-4.
36x²-1-36x²-12x=-4
-12x=-4+1
-12x=-3
x=(-3):(-12)
x=1/4
8) 81-4y²=(9-2у)(9+2у)
9) (3x-4y)(3x+4y) -(6x-2y)(6x+2y)=(9х²-16у²)-(36х²-4у²)=9х²-16у²-36х²+4у²=
-27х²-12у²
10) 2x(8x-4) -(4x-2)(4x+2)=-12
16х²-8х-(16х²-4)=-12
-8х+4=-12
-8х=-16
х=2