Question

Решить… найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |6/x-3|=ax-1на промежутке (0; +∞) имеет более двух корней.

Answer 1

Из свойства модуля действительного числа имеем:

 $ax-1\geq0$, отсюда $ax\geq1$ ------(1)

Так как мы ищем решения нашего уравнения при $x0$, тогда (1) примет вид   $a\geq0$ -----(2)

Раскроем знак модуля:

а) Если  $\frac{6}{x}-3<0$---------(1а) 

 то $|\frac{6}{x}-3|=-(\frac{6}{x}-3)=3-\frac{6}{x}$ -------(2а)

При этом решением неравенства (1а) является объединение числовых промежутков:

         $(-\infty; 0)\cup(2;+\infty)$ 

Исходное уравнение с учетом (2а) примет вид:

     $3-\frac{6}{x}=ax-1$, отсюда получим квадратное уравнение относительно $x$

         $ax^2-4x+6=0$ -------(*)

Чтобы уравнение (*) имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательный: 

      $D=16-24a\geq0$, отсюда

          $a\leq\frac{2}{3}$ ---------(3а)

б) Если  $\frac{6}{x}-3\geq0$---------(1б)

то модуль  $|\frac{6}{x}-3|=\frac{6}{x}-3$---------(2б)  

При этом решением неравенства (1б) является числовой полуинтервал:

    $(0; 2]$ 

  Исходное уравнение с учетом (2б) примет вид:  

   $\frac{6}{x}-3=ax-1$, отсюда получим квадратное уравнение

     $ax^2+2x-6=0$ -------(**)

Чтобы уравнение (**) имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательный:  $D=4+24a\geq0$, отсюда

       $a\geq-\frac{1}{6}$ ---------(3а) 

 Но вначале мы показали, что параметр $a0$

  А это значит, что квадратное уравнение (**) при всех положительных значениях параметра уравнение имеет два корня.

Но так как мы ищем решения на промежутке $(0;+\infty)$, то исходное уравнение будет иметь 3 или 4 корня, если значения параметра $a$ будут удовлетворять двойному неравенству:

                  $0<a\leq\frac{2}{3}$