Question

Найти бесконечно убывающую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.

Answer 1

Пусть $b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, ...$ - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна
$S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}$

Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов:
$b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4}; ...$
Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_{1}^{2}$ и знаменателем $q^{2}$
Значит, ее сумма вычисляется по формуле:
$S_{1}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}$

Получаем систему уравнений
$\left \{ {{\frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}} \atop {\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}}} \right.$
$\left \{ {{b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)} \atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} \right.$

Подставим 1-е во 2-е
$3* \frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2})$
$\frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q)$
$\frac{1}{3}- \frac{1}{3}q=1+q$
$\frac{4}{3}q=- \frac{2}{3}$
$q=- \frac{1}{2}$

Значит, $b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)=\frac{8}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{8}{3}* \frac{3}{2}=4$

$b_{1}=4; b_{2}=4*(-\frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-\frac{1}{2})^{2}=1; ...$ - искомая прогрессия