Question

Sqr(х* корень пятой стапени( корень 5 степени(х*sqr(х))=56

Answer 1

Перейдем в исходном уравнении от корней  к степеням с дробным показателем, тогда уравнение примет вид:

$(x*x^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}-(x*x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}=56$

В получившемся уравнении перемножим степени в скобках как степени с одинаковым основанием, получим в результате равносильное уравнение:

     $(x^{\frac{6}{5}})^{\frac{1}{2}}-(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}=56$ 

Отсюда по свойству степеней получим равносильное уравнение, применив свойство степень в степени:

   $x^{\frac{3}{5}}-(x^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{2}}=56$ 

Сделаем замену  в последнем уравнении:    $y=x^{\frac{3}{5}}$ 

 Тогда последнее уравнении примет вид:

      $y-56=\sqrt{y}$ -------(1)

Замечаем, что новая неизвестная $y$ должна удовлетворять условию:

      $y56$--------(2)  что следует из уравнения (1)

 Возведем обе части уравнения в квадрат, после приведя подобные, получим квадратное уравнение:

          $y^{2}-113y+56^{2}=0$ 

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета:

         $y_{1}+y_{2}=113$

            $y_{1}*y_{2}=56^{2}=(8*7)^{2}=64*49$ 

Отсюда получим искомые корни:

        $y_{1}=64$, $y_{2}=49$

При этом корень $y_{2}$ посторонний, поскольку не удовлетворяет не равенству (2). Таким образом, исходное уравнение имеет один корень:

   Вернем к старой неизвестной, получим:

 $y_{1}=x^{\frac{3}{5}}=64=4^{3}$, отсюда $x^{\frac{1}{5}}=4$

     $x=4^{5}=1024$ 

ответ: $x=1024$