Сначала раскладываем числитель на множители х2-25=(х-5)*(х+5)-это по формуле а2-b2=(а-b)*(a+b) раскладываем на множители знаменатель 2х2-7х-15 2х2-7х-15=0 а=2,b=-7,с=-15 Д=(-7) в квадрате -4*2*(-15)=49+120=169 х1,2= в числителе 7 плюс минус √169 : 4=7 плюс минус 13:4 х1= 7+13:4=20:4=5 х2=7-13:4=-6:4=-1,5 2х2-7х-15=2*(х-5)*(х+1,5)-это по формуле разложения квадратного трехчлена а*(х-х1)*(х-х2) сокращаем в числителе (х-5) и в знаменателе тоже после сокращение получается в числителе х+5 в знаменателе 2*(х+1,5)= х+5 в знаменателе 2х+3 ответ. в числителе х+5 в знаменателе 2х+3
dv=xdx; v=integral xdx=(x^2) /2+c;
integral udv=uv- integral vdu
Применяя эту формулу (интегрирования по частям), получим
integral arcsin2x *xdx=arcsin2x *(0,5x^2+c) - integral (0,5x^2+c) * (2/√(1-4x^2))dx=
0,5x^2 *2/√(1-4x^2)=x^2 /√(1-4x^2)
Пусть √(1-4x^2)=t; t^2=1-4x^2; x^2=(1-t^2)/4; 2dx=1/4 *(-2dt); dx=-1/4 *dt
integral x^2 /√(1-4x^2) dx=integral ((1-t^2) /(4t)) (-1/4 dt=-1/16(int 1/tdt-int tdt)=
=-1/16 * (ln|t| -t^2/2 )+c
получаем ...=arcsin2x *0,5x^2+1/16 *(ln|√1-4x^2)-(√(1-4x^2)^2 /2+c
Проверьте еще раз!