2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:
Критические точки функции:
,
,
Определим знак производной в каждом интервале монотонности:
, точка max, так как производная изменила знак с "+" на "−",
, точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".
Вычислим сам экстремум функции в этих точках:
3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:
Критические точки: , , ,
Определим знак II производной в интервале кривизны:
, значит, кривая выпуклая на промежутке,
, значит, кривая вогнутая на промежутке;
Вычислим ординату точки перегиба:
4. Найдём дополнительные точки графика:
По результатам исследования строим график функции:
Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: .
1. Область определения функции ,
точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:
Значит, точка разрыва рода,
прямая вертикальная асимптота графика функции.
Найдём наклонную асимптоту графика:
где угловой коэффициент прямой найдём по формуле
Так как существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:
Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение .
2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:
, учтем правило дифференцирования
Критические точки функции:
, , , , х=2,
15 см и 27 см
Объяснение:
Пусть х - длина меньшей стороны прямоугольника, тогда (х+12) см - длина большей стороны.
Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длины его сторон:
х · (х + 12) = 405.
Раскрываем скобки и находим х (длину меньшей стороны):
х² + 12х - 405 = 0 .
Согласно теореме Виета:
х₁,₂ = - 6 ± √(36 + 405) = - 6 ± √441 = - 6 ± 21.
х₁ = - 6 + 21 = 15 см
х₂ = - 6 - 21 = - 27 - не может быть решением, так как стороны прямоугольника могут быть только положительными числами.
Зная длину меньшей стороны, находим длину большей стороны:
х + 12 = 15 + 12 = 27 см.
Полученные значения являются правильными, так как их произведение равно 405, что соответствует условию задачи:
15 · 27 = 405
ответ: 15 см и 27 см