Question

Решить! для линейного оператора f известно, что f 5 11 и f 4 = -16 4 = 25 -3 -11 . найдите матрицу этого оператора. в ответе укажите сумму элементов матрицы 2 . известно, что в некотором ортонормированном базисе f х1 х1+7х2+8х3 х2
=-5х1-х2+8х3 х3 -2х1-4х2+х3 . найдите матрицу оператора f* сопряженного для f. в ответе укажите сумму 3-й строки. 3. найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора f, если известна его матрица в
стандартном базисе f= 12 24 -6 38. первые координаты собственных векторов приравняйте к 1. в ответе укажите сумму их вторых координат. 4. методом лангранжа квадратичную форму q=x12 +4x1x2+4x1x3+29x2^2+38x2x3+17x3^2к нормальному виду. в
ответе укажите сумму коэффициентов нормального вида.

Answer 1

1) Матрица линейного оператора выглядит следующим образом

α₁₁ α₁₂

α₂₁ α₂₂

Составим соответствующие уравнения после действия этого оператора

5α₁₁+4α₁₂=11

5α₂₁+4α₂₂=25

4α₁₁-3α₁₂=-16

4α₂₁-3α₂₂=-11

Решая систему находим элемениы матрицы

α₁₁=-1 α₁₂=4

α₂₁= 1 α₂₂=5

ответ: 9

2) Составим матрицу оператора

 1  7 8 

-5 -1 8

-2 -4 1

Транспонируем ее

1 -5 -2

7 -1 -4

8  8  1

ответ: 17

3) Решим соответствующее характеристическое уравнение

$\left[\begin{array}{cc}12-\lambda&24\\-6&38-\lambda\end{array}\right]=\lambda^2-50\lambda+600=0$

Для всех собственных значений найдем собственные вектора

$\lambda_1=20$

-x₁+3x₂=0

x₁=1 x₂=1/3

$\lambda_2=30$

-3x₁+4x₂=0

x₁=1 x₂=3/4

ответ: 13/12

4) x₁²+4x₁x₂+4x₁x₃+29x₂²+38x₂x₃+17x₃²=(x₁+2x₂+2x₃)²+(5x₂+3x₃)²+4x₃²=a₁²+a₂²+4a³₂

ответ: 6