a^2+a-6
a^2+4ab-5b^2
6x^2+x-2
4x^2-11xy+6y^2
а).
Приведем пример:
2 + 7 + 72 = 81.
ответ: да.
б).
Заметим, что при такой сумме будут использованы только двузначные и однозначные числа (так как наименьшее возможное в задаче трехзначное число, 222, уже больше 197). То есть, имеем всего лишь шесть возможных чисел: 2, 7, 22, 27, 72, 77.
Предположим, что 197 можно представить в виде суммы нескольких различных натуральных чисел, состоящих только из 2 и 7. Так как 197 - число нечетное, то и в искомой сумме будет нечетное количество нечетных чисел - или же нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7 (то есть, 1 или 3 числа).
Итак, рассмотрим два случая. Пусть в сумме есть только одно нечетное число. Тогда максимальное значение такой суммы равняется (2 + 22 + 72) + 77 = 173, что, естественно, меньше 197. Такой расклад событий нам не подходит.
Второй случай подразумевает, что были использованы все три нечетных числа. Если мы к тому же взяли в сумму и все четные числа, то она стала равна (7 + 27 + 77) + (2 + 22 + 72) = 207. Это больше, чем нам нужно, ровно на 10. Но проблема в том, что мы должны вычесть из суммы 10, используя только 2, 22, 72. Но 2 < 10 < 22, и уменьшить сумму таким тоже не получится. Значит, и этот вариант не имеет места быть.
И искомое предположение было неверным.
ответ: нет.
в).
В полном условии задачи пункта в указано число 2099 (так как число 209 получить искомым нельзя).
Докажем, что меньше, чем за семь слагаемых, получить 2099 невозможно.
Здесь, опять же, в силу нечетности числа 2099, в сумме будут присутствовать нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7.
Если такое число одно, то сумма последних цифр (чтобы на конце было 9 и всего слагаемых было не более 7) может быть такова:
7 + 2 ⇒ __9 (2 числа)
7 + 2 ⋅ 6 ⇒ __9 (7 чисел)
Если у нас три семерки, то случай (в пределах семи слагаемых) только один:
7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⇒ __9 (7 чисел)
Тоже самое касается пяти и семи семерок:
7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2 ⇒ __9 (7 чисел)
7 ⋅ 7 ⇒ __9 (7 чисел)
Если чисел, заканчивающихся на 7, больше чем 7, то и всего слагаемых больше семи, что нас пока не устраивает.
Таким образом, единственный случай с меньше, чем с семью слагаемыми, - это 2 + 7.
Но если у нас есть всего лишь два слагаемых, то максимальная сумма равна 772 + 777 = 1549 < 2099 (четырехзначные числа не используются, так как 2222 > 2099). Получаем, что меньше семи слагаемых использовать невозможно (есть только один кандидат из двух слагаемых, правда, нам не подходящий).
Докажем, что семь слагаемых будет достаточно - приведем пример:
2 + 22 + 222 + 722 + 77 + 277 + 777 = 2099
ответ: 7 чисел.
а).
Приведем пример:
2 + 7 + 72 = 81.
ответ: да.
б).
Заметим, что при такой сумме будут использованы только двузначные и однозначные числа (так как наименьшее возможное в задаче трехзначное число, 222, уже больше 197). То есть, имеем всего лишь шесть возможных чисел: 2, 7, 22, 27, 72, 77.
Предположим, что 197 можно представить в виде суммы нескольких различных натуральных чисел, состоящих только из 2 и 7. Так как 197 - число нечетное, то и в искомой сумме будет нечетное количество нечетных чисел - или же нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7 (то есть, 1 или 3 числа).
Итак, рассмотрим два случая. Пусть в сумме есть только одно нечетное число. Тогда максимальное значение такой суммы равняется (2 + 22 + 72) + 77 = 173, что, естественно, меньше 197. Такой расклад событий нам не подходит.
Второй случай подразумевает, что были использованы все три нечетных числа. Если мы к тому же взяли в сумму и все четные числа, то она стала равна (7 + 27 + 77) + (2 + 22 + 72) = 207. Это больше, чем нам нужно, ровно на 10. Но проблема в том, что мы должны вычесть из суммы 10, используя только 2, 22, 72. Но 2 < 10 < 22, и уменьшить сумму таким тоже не получится. Значит, и этот вариант не имеет места быть.
И искомое предположение было неверным.
ответ: нет.
в).
В полном условии задачи пункта в указано число 2099 (так как число 209 получить искомым нельзя).
Докажем, что меньше, чем за семь слагаемых, получить 2099 невозможно.
Здесь, опять же, в силу нечетности числа 2099, в сумме будут присутствовать нечетное количество чисел, заканчивающихся на 7.
Если такое число одно, то сумма последних цифр (чтобы на конце было 9 и всего слагаемых было не более 7) может быть такова:
7 + 2 ⇒ __9 (2 числа)
7 + 2 ⋅ 6 ⇒ __9 (7 чисел)
Если у нас три семерки, то случай (в пределах семи слагаемых) только один:
7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⇒ __9 (7 чисел)
Тоже самое касается пяти и семи семерок:
7 ⋅ 5 + 2 ⋅ 2 ⇒ __9 (7 чисел)
7 ⋅ 7 ⇒ __9 (7 чисел)
Если чисел, заканчивающихся на 7, больше чем 7, то и всего слагаемых больше семи, что нас пока не устраивает.
Таким образом, единственный случай с меньше, чем с семью слагаемыми, - это 2 + 7.
Но если у нас есть всего лишь два слагаемых, то максимальная сумма равна 772 + 777 = 1549 < 2099 (четырехзначные числа не используются, так как 2222 > 2099). Получаем, что меньше семи слагаемых использовать невозможно (есть только один кандидат из двух слагаемых, правда, нам не подходящий).
Докажем, что семь слагаемых будет достаточно - приведем пример:
2 + 22 + 222 + 722 + 77 + 277 + 777 = 2099
ответ: 7 чисел.
(a-2)(a+3)=а×а+3а-2а-2×3=а²+а-6
(a+5b)(a-b)=а×а-аb+5ab-5b×b=a²+4ab-5b²
(3x+2)(2x-1)=3x×2x-3x+2×2x-2=6x²+x-2
(4x-3y)(x-2y)=4x×x-4x×2y-3xy-3y×(-2y)=4x²-11xy+6y²