Question

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой 0xy $\left \{ {{9x^{2} + y^{2} -2y \leq 8-6|x(y-1)| } \atop {y+1\geq 0}} \right.$

Answer 1

25/3

Объяснение:

Разберёмся с первым уравнением, прежде всего с модулем. Если представить себе систему координат с осью ординат, параллельно перенесенной вправо на единицу, то получится, что модуль раскрывается положительно в 1й и 3й четвертях и отрицательно во 2й и 4й.

Рассмотрим случай 1й и 3й четвертей. Получаем неравенство:

$(3x+y)^2-2(3x+y)-8\leq 0$

Отсюда

$-2\leq 3x+y\leq 4$

$-3x-2\leq y\leq -3x+4$

В случае 2й и 4й четвертей всё аналогично.

$3x-4\leq y\leq 3x+2$

Теперь учтём и второе уравнение. Проведем прямую y=-1 и будем рассматривать только то, что лежит справа от этой прямой.

Изобразим на графике четверти и прямые. Нас интересует площадь пересечения 3й четверти и пространством между 1й парой прямых и 2й четверти и пространством второй пары прямых. Если изобразить график, видно, что искомая площадь равна площади равнобедренного треугольника. Его основание и высоту мы найдём из графика. Высота равна 5/3, а основание 10. Значит, площадь равна 25/3