Пусть одно из чисел - это X, тогда остальные три равны (x+1); (x+2) и (x+3); так как являются последовательными.
Получаем, что (x+2)(x+3) - произведение третьего и четвёртого чисел, на 34 больше произведения первого и второго числа - x(x+1). Можно составить следующее уравнение:
(x+2)(x+3)-x(x+1)=34
Решим это уравнение. Для начала раскроем скобки. Получим
x²+5x+6-x²-x=34
Приведём подобные. x² и -x² взаимоуничтожаются. Получаем
4x+6=34
4x=28
x=28:4
x=7
x+1=8
x+2=9
x+3=10
Можно проверить. Произведение 9*10=90 на 34 больше произведения 7*8=56
90-56=34
ответ: эти числа равны 7, 8, 9 и 10.
Найдем корни многочлена g(x)=x^2+3x+2
x^2+3x+2=0
По теореме Виета :
x1= -2
x2= -1
x^2+3x+2=(x+1)*(x+2)
Предположим , что многочлен :
f(x) =(x+1)^(2n-1) -(x+2)^n +10
делится на x^2+3x+2 , тогда он должен иметь корни -2 и -1
Проверим :
f(-1) = 0^(2n-1) - (1)^n +10 = -1+10=9 - явно не то что нужно.
Вывод только один : там не 10 , а 1.
Докажем , что многочлен :
f(x) =(x+1)^(2n-1) -(x+2)^n +1
делится на x^2+3x+2
Найдем f(-1) :
f(-1) = 0^(2n-1) - (1)^n +1 = 0 -1+1=0
Вывод : x=-1 - корень данного многочлена , то есть f(x) делится на (x+1)
Найдем f(-2) :
f(-2) = (-1)^(2n-1) -0^n +1 = -1-0+1= 0
Примечание : (-1)^(2n-1) =-1 , поскольку натуральное число 2*n-1 является нечетным.
Вывод : x=-2 - корень данного многочлена , то есть f(x) делится на (x+2)
Таким образом f(x) делится на (x+1)*(x+2) =x^2+3x+2=g(x)
Что и требовалось доказать.