Question

Среднее арифметическое корней уравнения cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х), принадлежащему отрезку [-π; 2π],

Answer 1

 Решим задачу пошагово:

cos(х-π/3)+cos²2x=1-cos²(π/2-2х)

cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -cos²(π/2-2х)

cos²(π/2-2х) = $sin^{2}2x$ (По формуле приведения).

cos(х-π/3)+cos²2x - 1 = -$sin^{2}2x$

cos²2x - 1 = (cos2x - 1)(cos2x + 1).

(cos2x - 1) = 1 - 2$sin^{2}x$ - 1 = - 2$sin^{2}x$.

(cos2x + 1) = 2$cos^{2}x$ - 1 + 1 = 2$cos^{2}x$.

(cos2x - 1)(cos2x + 1) = - $2sin^{2}x2cos^{2}x$ = -$4sin^{2}xcos^{2}x$ =-$(2sinxcosx)^{2}$  = -$sin^{2}2x$.

После подстановки найденных тождеств, получим:

cos(х-π/3) - $sin^{2}2x$ = -$sin^{2}2x$.

cos(х-π/3) - $sin^{2}2x$  + $sin^{2}2x$ = 0.

cos(х-π/3) = 0.

cos(х-π/3) = cos(π/2 + πn), где n принадлежит Z.

х-π/3 = π/2 + πn, где n принадлежит Z.

x = π/2 + πn + π/3, где n принадлежит Z.

x = 5π/6 + πn, где n принадлежит Z.

Найдём корни, принадлежащие отрезку [-π;2π], для этого составим следующее двойное неравенство:

-π >= 5π/6 + πn <= 2π, знаки >= и <= - это соответственно больше или равно и меньше или равно.

 -π - 5π/6 >=  πn <= 2π - 5π/6

 - 11π/6 >= πn <= 7π/6

- 11/6 >= n <= 7/6

- 1 >= n <= 1.

Теперь находим корни.

При n = -1, x = - 4π/6.

При n = 1, x = 11π/6.

При n = 0, x = 5π/6.

Найдём их среднее арифметическое:

(- 4π/6 + 11π/6 + 5π/6)/3 = 2π/3.

ответ: 2π/3