Question

Определить площадь,ограниченную параболой y=x² +1 и прямой x+y=3

Answer 1

Чтобы найти площадь нужно найти:

1 -пределы интегрирования

2 - какой из графиков проходит выше.

Для определения пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков функций y₁ = x² +1 и y₂ =3 - х.

Приравняем правые части этих функций

x² +1 = 3 - х

получим уравнение

x² + х - 2 = 0

D = 1 + 8 = 9

√D = 3

x₁ = (-1 - 3):2 = -2

x₂ = (-1 + 3):2 = 1

Итак, пределы интегрирования: нижний х = -2, верхний х = 1

Теперь рассмотрим неравенство

x² +1 < 3 - х

x² + х - 2 < 0

График функции f(x) = x² + х - 2 представляет собой квадратную параболу веточками вверх, поэтому решением неравенства x² + х - 2 < 0 будет интервал между корнями x₁ = -2 и x₂ = 1.

Таким образом, в интервале между пределами интегрирования график функции

y₂ =3 - х проходит выше графика функции y₁ = x² +1 . И площадь находится как определённый интеграл ∫(y₂ - y₁)dx в пределах от -2 до 1.

∫(y₂ - y₁)dx =

= ∫(3 - х )-(x² +1)dx =

= ∫(-x² - х + 2) dx =

= -x³/3 - х²/2 + 2х

Подставим пределы

S = -1³/3 - 1²/2 + 2·1 -(-(-2)³/3 - (-2)²/2 + 2·(-2) =

= -1/3 - 1/2 + 2 -( 8/3 - 2 - 4)=

= -1/3 - 1/2 + 2 - 8/3 + 2 + 4 =

= -9/3 - 1/2 + 8 =

= -3 - 0,5 + 8 =

= 4,5

ответ: S = 4,5

Answer 2

x^2+1=3-x. Решив получаем x = -2 и x = 1. y=3-x, y=x^2+1 получаем: $S=\int\limits^b_a {[(3-x)-(x^2+1)]} \, dx=\int\limits^1_{-2} {2-x-x^2} \, dx=$

$2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-(-4-2+\frac{8}{3})=4,5$