Question

Решить примеры по теме "двойные интегралы". Обязательно записать решение! Используя теорему замены переменных в двойном интеграле, вычислить:

Answer 1

$\displaystyle \iint\limits_D e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$

Произведём полярную замену $\begin{cases}x=r\cos\varphi\\[2.5pt] y=r\sin\varphi \end{cases}$ с модулем якобиана $|I|=r$

Данная область $D$ (четверть круга) перейдёт в соответствующую ей область $\Omega$ в координатах $(r,\varphi)$

$\displaystyle \iint\limits_{D}e^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\iint\limits_{\Omega}re^r\,dr\,d\varphi= \int\limits_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\,d\varphi\int\limits_{0}^{1}re^{r}\,dr=\dfrac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{1}r\,d\big(e^r\big)=\\[20pt]=\dfrac{\pi}{2}\Bigg(re^r\Big|\limits_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}e^r\,dr\Bigg)=\dfrac{\pi}{2}\Big(e-e+1\Big)=\dfrac{\pi}{2}$