Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции. Будем рассматривать балки и простые рамы, то есть такие конструкции, в которых связями, обеспечивающими геометрическую неизменяемость, являются опорные закрепления (опорные связи). Для обеспечения геометрической неизменяемости балки (рамы) в плоскости достаточно трех связей. Каждая связь запрещает какое-то перемещение. Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними.
Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. В предыдущих лекциях для расчёта отдельных статически неопределимых стержней, работающих на растяжение–сжатие, кручение, изгиб, использовалась группа соотношений, включающая в себя уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы.
Балка, изображенная на рис.1,б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой - из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.
Оговоримся, что здесь и далее понятие “расчет” подразумевает только построение эпюр внутренних силовых факторов, возникающих в элементах системы, а не расчет на прочность, жесткость и т.д.
Статически неопределимые системы обладают рядом характерных особенностей:
1. Статически неопределимая система ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически определимой системой оказывается более жесткой.
2. В статически неопределимых системах возникают меньшие внутренние усилия, что определяет их экономичность по сравнению со статически определимыми системами при одинаковых внешних нагрузках.
3. Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.
4. Для расчета статически неопределимых систем необходимо предварительно задаваться геометрическими характеристиками поперечных сечений элементов, т.е. фактически их формой и размерами, так как их изменение приводит к изменению усилий в связях и новому распределению усилий во всех элементах системы.
5. При расчете статически неопределимых систем необходимо заранее выбрать материал конструкции, так как необходимо знать его модули упругости.
В решении.
Объяснение:
1) Решить систему уравнений:
1/х + 1/у = 3/4
1/х - 1/у = 1/4
Сложить уравнения:
1/х + 1/х + 1/у - 1/у = 3/4 + 1/4
2/х = 1
х = 2;
Подставить значение х в любое из уравнений и вычислить у:
1/2 + 1/у = 3/4
2у + 4 = 3у
2у - 3у = -4
-у = -4
у = 4.
Решение системы уравнений (2; 4).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
2) Решить систему уравнений:
1 + х/(1 - х) =у/(1 - х²)
(х - 5)/(3 - у) = 1/2
Упростить первое уравнение:
(1 - х²) = (1 - х)(1 + х)
Умножить уравнение (все части) на это выражение, чтобы избавиться от дроби:
(1 - х)(1 + х) + х*(1 + х) = у
1 - х² + х + х² = у
1 + х = у;
Упростить второе уравнение:
(х - 5)/(3 - у) = 1/2
Умножить уравнение (все части) на 2(3 - у), чтобы избавиться от дроби:
2*(х - 5) = 3 - у
2х - 10 = 3 - у
2х + у = 13;
Получили упрощенную систему уравнений:
1 + х = у;
2х + у = 13;
Выразить х через у в первом уравнении, подставить выражение во второе уравнение и вычислить у:
х = у - 1
2(у - 1) + у = 13
2у - 2 + у = 13
3у = 15
у = 5;
х = у - 1
х = 4.
Решение системы уравнений (4; 5).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
3) Решить систему уравнений:
5/х + 2/у = 2
10/х - 6/у = -1
Умножить первое уравнение на 3, чтобы решить систему методом сложения:
15/х + 6/у = 6
10/х - 6/у = -1
Сложить уравнения:
15/х + 10/х + 6/у - 6/у = 6 - 1
25/х = 5
5х = 25
х = 5;
Подставить значение х в любое из уравнений и вычислить у:
5/5 + 2/у = 2
1 + 2/у = 2
Умножить уравнение на у, чтобы избавиться от дроби:
у + 2 = 2у
у - 2у = -2
-у = -2
у = 2.
Решение системы уравнений (5; 2).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.
4) Решить систему уравнений:
3у/(9 - х²) + х/(х - 3) = 1
(5 - у)/(х - 5) = 2
Упростить первое уравнение:
(9 - х²) = (3 - х)(3 + х);
+ х/(х - 3) = -х(3 - х);
Получили:
3у/(3 - х)(3 + х) - х/(х - 3) = 1
Умножить уравнение (все части) на (3 - х)(3 + х), чтобы избавиться от дроби:
3у - х(3 + х) = (3 - х)(3 + х)
3у - 3х - х² = 9 - х²
Привести подобные члены:
3у - 3х - х² + х² = 9
3у - 3х = 9
Разделить уравнение на 3 для упрощения:
у - х = 3;
Упростить второе уравнение:
(5 - у)/(х - 5) = 2
Умножить уравнение (все части) на (х - 5),чтобы избавиться от дроби:
5 - у = 2(х - 5)
5 - у = 2х -10
Привести подобные члены:
-у - 2х = -15;
Получили упрощённую систему уравнений:
у - х = 3;
-у - 2х = -15;
Сложить уравнения:
у - у - х - 2х = 3 - 15
-3х = -12
х = -12/-3
х = 4;
Подставить значение х в любое из уравнений и вычислить у:
у - х = 3;
у = 3 + 4
у = 7.
Решение системы уравнений (4; 7).
Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.