Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.
х = 60 км/ч - скорость пассажирского
100 - 60 = 40 км/ч скорость товарного
Объяснение:
х - скорость пассажирского
у - скорость товарного
(х + у) - скорость сближения
Первое уравнение
3(х + у) = 300 , сократив на 3 , получим
х + у = 100
2,4 + 1 = 3,4 ч - время движения пассажирского до встречи во втором случае
Второе уравнение
3,4х + 2,4у = 300
Система
{х + у = 100
{3,4х + 2,4у = 300
Из первого уравнения
у = 100 - х подставим во второе
3,4 х + 2,4 * (100 - х) = 300
3,4х + 240 - 2,4х = 300
х = 60 км/ч - скорость пассажирского
100 - 60 = 40 км/ч скорость товарного