Question

по алгебре, 8кл точки N (3, -1) и М (-4,3) являются серединами сторон AB, BC треугольника ABC. известно что А (5,3), найдите координаты вершин В,С а также длину вершины MN

только для знатоков

Answer 1

$1)\ \ N(3;-1)\ \ ,\ \ M(-4;3)\ \ ,\ \ A(5;3)\\\\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=x_{N}\ \ ,\ \ \ \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=y_{N}\ \ \Rightarrow \ \ x_{A}+x_{B}=2x_{N}\ \ ,\ \ y_{A}+y_{B}=2y_{N}\\\\\\5+x_{B}=2\cdot 3\ \ ,\ \ x_{B}=6-5\ \ ,\ \ x_{B}=1\\\\3+y_{B}=-1\cdot 3\ \ ,\ \ y_{B}=-3-3\ \ ,\ \ y_{B}=-6\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{\ B(1;-6)\ }\\\\\\x_{C}+x_{B}=2x_{M}\ \ ,\ \ y_{C}+y_{B}=2y_{M}\\\\x_{C}+1=2\cdot (-4)\ \ ,\ \ x_{C}=-8-1=-9$

$y_{C}-6=2\cdot 3\ \ ,\ \ y_{C}=6+6\ \ ,\ \ y_{C}=12\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \boxed{\ C(-9;12)\ }$

$|MN|=\sqrt{(-4-3)^2+(3+1)^2}=\sqrt{49+16}=\boxed{\sqrt{65}\ }$

$2)\ \ M(-2;3)\ \ ,\ \ N(3;5)\ \ ,\ \ K(3;-5)\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x_{A}+x_{B}=2x_{M}\\x_{A}+x_{C}=2x_{N}\\x_{B}+x_{C}=2x_{K\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}x_{A}+x_{B}=-4\\x_{A}+x_{C}=6\\x_{B}+x_{C}=6\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}x_{B}-x_{C}=-10\\x_{A}-x_{C}=-10\\x_{A}+x_{C}=6\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{lll}x_{B}-x_{C}=-10\\x_{A}-x_{C}=-10\\2x_{A}=-4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}x_{B}=x_{C}-10\\x_{C}=x_{A}+10\\x_{A}=-2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}x_{A}=-2\\x_{C}=8\\x_{B}=-2\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{ccc}y_{A}+y_{B}=2y_{M}\\y_{A}+y_{C}=2y_{N}\\y_{B}+y_{C}=2y_{K\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}y_{A}+y_{B}=6\\y_{A}+y_{C}=10\\y_{B}+y_{C}=-10\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}y_{A}+y_{B}=6\\y_{A}-y_{B}=20\\y_{A}-y_{C}=16\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{lll}2y_{A}=26\\y_{B}=y_{A}-20\\y_{C}=y_{A}-16\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}y_{A}=14\\y_{B}=14-20\\y_{C}=14-16\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{lll}y_{A}=14\\y_{B}=-6\\y_{C}=-2\end{array}\right\\\\\\\boxed{\ A(\, -2\ ;\ 14\ )\ \ ,\ \ B(\ 8\ ;\, -6\ )\ \ ,\ \ (-2\ ;\, -2\ )\ }$