Question

Знатоки алгебры МНОГО . В геометрической прогрессии S4=10целых 5/8 , S5=42целых 5/8 , b1=1/8,. Найдите q.​​

Answer 1

ответ:  q=4 .

$S_4=10\dfrac{5}{8}=\dfrac{85}{8}\ \ ,\ \ S_5=42\dfrac{5}{8}=\dfrac{341}{8}\ \ ,\ \ \ b_1=\dfrac{1}{8}\\\\\\S_4=\dfrac{b_1\, (q^4-1)}{q-1}\ \ ,\ \ \ \ \ \dfrac{\dfrac{1}{8}\, (q^4-1)}{q-1}=\dfrac{85}{8}\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{q^4-1}{q-1}=85\ \ ,\\\\\\\dfrac{(q-1)(q+1)(q^2+1)}{q-1}=85\ \ ,\ \ \ (q+1)(q^2+1)=85\ \to \\\\\\\underline{q^3+q^2+q+1=85\ }\\\\\\S_5=\dfrac{b_1\, (q^5-1)}{q-1}\ \ ,\ \ \ \dfrac{\dfrac{1}{8}\, (q^5-1)}{q-1}=\dfrac{341}{8}\ \ ,\ \ \ \ \dfrac{q^5-1}{q-1}=341\ \ ,$

$\dfrac{(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)}{q-1}=341\ \ ,\ \ \ q^4+\underbrace{q^3+q^2+q+1}_{85}=341\\\\\\q^4+85=341\ \ ,\ \ q^4=256\ \ \ \Rightarrow \ \ \ q^2-256=0\ \ ,\\\\(q^2-16)(q^2+16)=0\ \ ,\ \ \ (q-4)(q+4)(q^2+16)=0\ \ \Rightarrow \ \ q=\pm 4\ \ \\\\q=4\ \ ,\ \ S_4=\dfrac{\dfrac{1}{8}\, (4^4-1)}{4-1}=\dfrac{85}{8}\ \ \Rightarrow \ \ \ q=4\\\\q=-4\ \ ,\ \ S_4=\dfrac{\dfrac{1}{8}\, ((-4)^4-1)}{-4-1}\ne \dfrac{85}{8}$

Answer 2

q = 4

Объяснение:

$S_4 = 10\dfrac{5}{8} = \dfrac{85}{8} ;~~~~~~S_5 = 42\dfrac{5}{8}= \dfrac{341}{8} ;~~~~~b_1 = \dfrac{1}{8} ;$

Сумма n членов геометрической прогрессии равна

$S_n = \dfrac{b_1\cdot (q^n - 1)}{q - 1}$

n = 4

$\dfrac{85}{8} = \dfrac{\dfrac{1}{8} \cdot (q^4-1)}{q - 1}$

$85 = \dfrac{q^4-1}{q - 1} ~~~~~~(1)$

n= 5

$\dfrac{341}{8} = \dfrac{\dfrac{1}{8} \cdot (q^5-1)}{q - 1}$

$341 = \dfrac{q^5-1}{q - 1} ~~~~~~(2)$

Из (1) получим

q³ + q² + q + 1 = 85      (3)

Из (2) получим

q⁴ + q³ + q² + q + 1 =341     (4)

Подставим (3) в (4)

q⁴ + 85 = 341

q⁴ = 256

q₁ = 4;

Проверим

$85 = \dfrac{4^4-1}{4 - 1}~~~~~~~~~~~341= \dfrac{4^5-1}{4 - 1}\\ \\85\equiv85~~~~~~~~~~~~~~~~~~341 \equiv341$

q₂ = -4 не подходит

$85 = \dfrac{(-4)^4-1}{-4 - 1}~~~~~~~~~~~341= \dfrac{(-4)^5-1}{-4 - 1}\\ \\85\ne-51~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~341 \ne205$