Для решения данного вопроса, мы сначала проверим, есть ли внутри логарифмов отрицательные значения. Если такие имеются, то такие значения недопустимы, потому что логарифм отрицательного числа не существует.
Начнем с проверки аргумента внутри логарифма 2a+3b и аргументов в знаменателе логарифма lga+lgb. По условию задачи, нам дано, что 4a^2 + 9b^2 = 13ab. Попробуем преобразовать это уравнение для получения значений a и b:
4a^2 + 9b^2 - 13ab = 0.
Теперь попробуем провести этот трехчлен в каноническую форму квадратного уравнения путем домножения обеих частей на 4:
16a^2 + 36b^2 - 52ab = 0.
Теперь проведем факторизацию левой части уравнения:
(4a - 9b)^2 = 0.
Это дает нам единственное решение 4a - 9b = 0 или a = 9b/4.
Теперь мы знаем, что аргументы внутри логарифмов должны быть положительными, так как логарифм отрицательного числа не существует. Значит, a и b должны быть положительными.
Давайте заметим, что аргумент внутри логарифма 2a+3b должен быть положительным:
2a+3b > 0.
Теперь подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
2(9b/4) + 3b > 0.
Раскроем скобки:
18b/4 + 3b > 0.
Упростим:
9b/2 + 3b > 0.
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
9b + 6b > 0.
15b > 0.
Из данного неравенства мы видим, что b должно быть больше нуля.
Теперь проверим, что аргументы внутри знаменателя логарифма lga+lgb должны быть положительными. Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
lga + lgb = lg(9b/4) + lgb.
Теперь заметим, что оба аргумента должны быть положительными:
9b/4 > 0 и b > 0.
Теперь перейдем к решению самого выражения 2lg lg(2a+3b)-2lg5/lga+lgb.
1. Вычислим lg(2a+3b). Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
Начнем с проверки аргумента внутри логарифма 2a+3b и аргументов в знаменателе логарифма lga+lgb. По условию задачи, нам дано, что 4a^2 + 9b^2 = 13ab. Попробуем преобразовать это уравнение для получения значений a и b:
4a^2 + 9b^2 - 13ab = 0.
Теперь попробуем провести этот трехчлен в каноническую форму квадратного уравнения путем домножения обеих частей на 4:
16a^2 + 36b^2 - 52ab = 0.
Теперь проведем факторизацию левой части уравнения:
(4a - 9b)^2 = 0.
Это дает нам единственное решение 4a - 9b = 0 или a = 9b/4.
Теперь мы знаем, что аргументы внутри логарифмов должны быть положительными, так как логарифм отрицательного числа не существует. Значит, a и b должны быть положительными.
Давайте заметим, что аргумент внутри логарифма 2a+3b должен быть положительным:
2a+3b > 0.
Теперь подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
2(9b/4) + 3b > 0.
Раскроем скобки:
18b/4 + 3b > 0.
Упростим:
9b/2 + 3b > 0.
Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
9b + 6b > 0.
15b > 0.
Из данного неравенства мы видим, что b должно быть больше нуля.
Теперь проверим, что аргументы внутри знаменателя логарифма lga+lgb должны быть положительными. Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
lga + lgb = lg(9b/4) + lgb.
Теперь заметим, что оба аргумента должны быть положительными:
9b/4 > 0 и b > 0.
Теперь перейдем к решению самого выражения 2lg lg(2a+3b)-2lg5/lga+lgb.
1. Вычислим lg(2a+3b). Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
lg(2(9b/4) + 3b) = lg(27b/2) = lg(27) + lg(b/2) = 1 + lg(b/2).
2. Вычислим lg(5). Это даст нам значение 1.
3. Теперь найдем значение lga+lgb. Подставим выражение для a из уравнения 4a - 9b = 0:
lga+lgb = lg(9b/4) + lgb = lg(9) + lg(b/4) + lgb = 2 + lg(b/4).
4. Теперь соберем все вместе в исходном выражении:
2lg lg(2a+3b)-2lg5/lga+lgb = 2lg(1 + lg(b/2)) - 2lg(1) / (2 + lg(b/4)).
5. Упростим это выражение:
= 2(1 + lg(b/2)) - 2lg(1) / (2 + lg(b/4)).
= 2 + 2lg(b/2) - 2 / (2 + lg(b/4)).
= 2 + 2lg(b) - 2lg(2) - 2 / (2 + lg(b) - lg(4)).
= 2 + 2lg(b) - 2 - 2 / (2 + lg(b) - 2).
= 2lg(b) / lg(b).
= 2.
Таким образом, значение данного выражения равно 2.